20220728 - DP训练 #1

时间记录

$8:00-9:00$ T1

尝试做 $T1$，可惜并未做出，没有想到是资源分配

设置三维状态，初值一直不知道怎么设置

并且对于距离有一部分不会进行状态转移

也尝试过二维状态，没有成功
$9:00-9:30$ T3

直接看出部分分做法，搜索遍历整棵树即可，$40$ 分
$9:30-10:00$ T2

看到 $30$ 分数据中 $n \leq 10$，于是进行打表，成功得分

在手推过程中好像发现了一点规律，但不清晰

也不清楚到底是什么规律而且没有时间再次推导

最终成绩——前 $38\%$

T1	T2	T3
0	30	40

写的部分分全部拿到，但是感觉 $T1$ 不难，可惜写不出来

本次模拟赛来的突然，拿到题目没有先浏览全部题面，直接做 $T1$，最终时间安排不当

T1-Marathon S Luogu P2849 [USACO14DEC]

题目描述

由于对他的奶牛的健康状况不佳而感到不满，牧场主约翰让它们参加各种各样的体育健身活动。最让他感到自豪的奶牛是 Bessie，她将参加约翰牧场附近城市里的马拉松比赛！

马拉松比赛有 $N$ 个检查点 $(3\leq N\leq 500)$ ，需要按顺序访问。检查点 $1$ 是起点，检查点 $N$ 是终点。Bessie 应该按顺序一一访问所有的这些检查点，但由于她是一头懒惰的牛（懒惰竟然还选择跑马拉松！），于是她决定跳过 $K(K<N)$ 个检查点以缩小她的赛程。但她不能跳过第 $1$ 个和第 $N$ 个检查点，因为这样太明显了。

请你帮助 Bessie 计算出跳过中间的 $K$ 个检查点后她最少要跑多少距离。

注意：由于街道是网格状的，我们用坐标来表示点的位置。但是 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 两点间的距离应为 $|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$，这种测量距离的方法被称为“曼哈顿”距离，这是因为在市中心的网格路中，你可以沿平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的方向走，但不能沿直线到达。

输入格式

第一行：两个正整数 $N$ 和 $K$。

第 $2$ 行到第 $N+1$ 行，每行两个整数$x,y (-1000\leq x\leq 1000,-1000\leq y\leq 1000)$。

这里给出了检查点的顺序，她必须按顺序访问。注意：可能会有几个检查点出现在同一位置，Bessie 跳过这样的检查点时，相当于只跳过其中的一个检查点。

输出格式

输出跳过某一个检查点后 Bessie 可以跑的最短距离。

Bessie 参加城市马拉松比赛，要顺序经过 $N (3 \leq N \leq 500)$ 个检查点，其中检查点 $1$ 是起点，检查点 $N$ 是终点。 Bessie尝试略过 $K(K < N)$ 个检查点，以减少总路程，检查点 $1$ 和检查点 $N$ 不能被略过。两个检查点的距离是 $|x_1-x_2| + |y_1-y_2|$。

输入输出格式

样例

input
5 2

0 0

8 3

1 1

10 -5

2 2
output
4

资源分配类DP，套用模板稍加变化即可解决。

需要单独处理一下路径计算

int dis(int i,int j)

{

	return abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j]);

}

状态：$f[i][j]$：前 $i$ 个检查点，跳过了 $j$ 个的最短路径

状态转移：$f[i][j]=min(f[i][j],f[i-l-1][j-l]+dis(i-l-1,i))$

f[1][0]=0;

for(int i=1;i<=n;i++)

    for(int j=0;j<=min(i-1,k);j++)

        for(int l=0;l<=j;l++)

            f[i][j]=min(f[i][j],f[i-l-1][j-l]+dis(i-l-1,i));

printf("%d\n",f[n][k]);

T2-梦境

题目描述

GTW 做了一个梦。这个梦是这样的，GTW 是一个财主，有一个仆人在为 GTW 打工。

不幸的是，又到了月末，到了给仆人发工资的时间。

但这个仆人很奇怪，它可能想要至少 $x$ 块钱，并且当GTW 凑不出恰好 $x$ 块钱时，它不会找零钱给 GTW。

GTW 知道这个 $x$ 一定是 $1 \sim n$ 之间的正整数。当然抠门的 GTW 只想付给它的仆人恰好 $x$ 块钱。

但GTW 只有若干的金币，每个金币都价值一定数量的钱

（注意任意两枚金币所代表的钱一定是不同的，且这个钱的个数一定是正整数）。

GTW 想带最少的金币，使得对于任意 $x$，都能恰好拼出这么多钱。

并且 GTW 想知道有多少携带金币的方案总数。具体可以看样例。

输入格式

第一行一个数 $n$，如题意所示。

输出格式

输出两个数，第一个数表示GTW 至少携带的金币个数，第二数表示方案总数。

输入样例1
6
输出样例1
3 2
样例解释1

GTW 需要至少带 $3$ 枚金币，有两种方案，分别是 $\{1,2,3\}$，$\{1,2,4\}$ 来恰好得到任意的 $1 \sim n$ 之间的 $x$ 。

输入样例2
10
输出样例2
4 8
数据范围

对于 $30\%$ 的数据 $n\leq 10$ 。

对于 $60\%$ 的数据 $n\leq 100$ 。

对于 $100\%$ 的数据 $n \leq 1000$ 。

经过举例子，打表分析可得：$m$ 的最小值为 $\lceil \log_2 n+1 \rceil $

int t=log2(n)+1;

那么问题变为如何统计方案数

利用 DP思想，可得如下状态：

状态：$f[i][j][k]$：用了 $i$ 枚硬币，最大的面值为 $j$，总和为 $k$ 的方案数

由此，我们可以枚举第 $i+1$ 枚硬币面值为 $l$，因为硬币面值各不相同

且硬币从小到大枚举，要保证能够拼出 $1 \sim n$，所以 $j<t \leq k+1$

状态转移：$f[i+1][l][min(k+l,n)]+=f[i][j][k]$

f[1][1][1]=1;

for(int i=1;i<=t;i++)

    for(int j=1;j<=n;j++)

        for(int k=1;k<=n;k++)

            if(f[i][j][k])

                for(int l=j+1;l<=k+1;l++)

                    f[i+1][l][min(k+l,n)]+=f[i][j][k];

最终统计用了 $t$ 枚硬币，总和为 $n$ 的方案数之和即可

for(int j=1;j<=n;j++)

    ans+=f[t][j][n];

printf("%d %d\n",t,ans);

T3-树上距离

懒惰的温温今天上班也在偷懒。盯着窗外发呆的温温发现，透过窗户正巧能看到一棵 $n$ 个节点的树。

一棵 $n$ 个节点的树包含 $n-1$ 条边，且 $n$ 个节点是联通的。

树上两点之间的距离即两点之间的最短路径包含的边数。

突发奇想的温温想要知道，树上有多少个不同的点对，满足两点之间的距离恰好等于 $k$ 。

注意：$(u, v)$ 和 $(v, u)$ 视作同一个点对，只计算一次答案。

Input

第一行两个整数 $n$ 和 $k$ 。

接下来 $n-1$ 行每行两个整数 $a_i, b_i$，表示节点 $a_i$ 和 $b_i$ 之间存在一条边。

$1 \leq k \leq 500 $

$2 \leq n \leq 500$ for $40% $

$2 \leq n \leq 50000$ for $100% $

Output

输出一个整数，表示满足条件的点对数量。

Examples

input
5 2

1 2

2 3

3 4

2 5
output
4
input
5 3

1 2

2 3

3 4

4 5
output
2

根据题意，首先建树，从根节点 $1$ 开始遍历，可设如下状态：

状态：$f[x][j]$：以 $x$ 为根节点，距 $x$ 距离为 $j$ 的节点个数

假设有一节点 $x$ 的儿子节点为 $y$

则距节点 $y$ 距离为 $j$ 的节点，距 $x$ 的距离为 $j+1$，由此得到转移方程：

状态转移：$f[x][j+1]+=f[y][j],\ y\in Son(x)$

for(int j=0;j<=k;j++)

    f[x][j+1]+=f[y][j];

对于统计答案：

假设有一节点 $x$ 的儿子节点为 $y$，枚举距离 $j \in [0,k]$

距节点 $y$ 距离为 $j$ 的节点，距 $x$ 的距离为 $k-j-1$

满足这种情况的节点符合题意

利用乘法原理，将两数相乘即可

for(int j=0;j<=k;j++)

    ans+=f[x][k-j-1]*f[y][j];

最后输出 $ans$ 。