[HDU6057] Kanade‘s convolution （FWT）

题面

出自HDU6057

给你两个数列

A

[

0...

2

m

−

1

]

A[0...2^m-1]

A[0...2m−1] 和

B

[

0...

2

m

−

1

]

B[0...2^m-1]

B[0...2m−1]。

请计算数列

C

[

0...

2

m

−

1

]

C[0...2^m-1]

C[0...2m−1]:

C

[

k

]

=

∑

i
  

a

n

d
  

j

=

k

A

[

i
  

x

o

r
  

j

]

∗

B

[

i
  

o

r
  

j

]

C[k]=\sum_{i\;and\;j=k}A[i\;xor\;j]*B[i\;or\;j]

C[k]=iandj=k∑​A[ixorj]∗B[iorj]

你只需要输出

∑

i

=

0

2

m

−

1

C

[

i

]

∗

152

6

i

 ⁣ ⁣

m

o

d

  

998244353

\sum_{i=0}^{2^m-1}C[i]*1526^i\!\!\mod 998244353

∑i=02m−1​C[i]∗1526imod998244353

m

<

=

19

m <= 19

m<=19

0

≤

A

[

i

]

,

B

[

i

]

<

998244353

0\leq A[i],B[i]<998244353

0≤A[i],B[i]<998244353

题解

公式中的条件让我们很想用快速沃尔什变换FWT，但是该公式和FWT基本式子大相径庭，无疑给我们造成了巨大的麻烦。

我们只有两条路可走，化式子，换元。

目前公式的形态想要化式子是毫无可能性的，我们只好先换元后再做打算。

我们知道，两个数异或、按位或、按位与三个运算是有等量关系的，即：

i
  

x

o

r
  

j

=

(

i
  

o

r
  

j

)

−

(

i
  

a

n

d
  

j

)

=

(

i
  

o

r
  

j

)
 

x

o

r
 

(

i
  

a

n

d
  

j

)

i\;xor\;j=(i\;or\;j)-(i\;and\;j)=(i\;or\;j)\,xor\,(i\;and\;j)

ixorj=(iorj)−(iandj)=(iorj)xor(iandj)

有了这个关系，我们就可以消去其中一个甚至两个运算，不妨设

x

=

i
  

x

o

r
  

j

,

y

=

i
  

o

r
  

j

x=i\;xor\;j,y=i\;or\;j

x=ixorj,y=iorj，则

x

=

y

−

(

i
  

a

n

d
  

j

)

=

y
  

x

o

r
 

(

i
  

a

n

d
  

j

)

⇔

x
  

x

o

r
  

y

=

(

i
  

a

n

d
  

j

)

x
  

x

o

r
  

y

=

k
      

(

x

⊆

y

,

即

x
  

a

n

d
  

y

=

x

)

x=y-(i\;and\;j)=y\;xor\,(i\;and\;j)\\ \Leftrightarrow x\;xor\;y=(i\;and\;j)\\ x\;xor\;y=k\;\;\;(x\subseteq y,即 x\;and\;y=x)

x=y−(iandj)=yxor(iandj)⇔xxory=(iandj)xxory=k(x⊆y,即xandy=x)

化到这一步，不免心中大喜，想要直接代成

C

[

k

]

=

∑

x
 

x

o

r
 

y

=

k

A

[

x

]

∗

B

[

y

]

C[k]=\sum_{x\,xor\,y=k}A[x]*B[y]

C[k]=∑xxory=k​A[x]∗B[y]，并用类似子集卷积的方式限制位数来完成那热血沸腾的最后一步。

若真是这么简单，可就大错特错。这里有个坑，虽然有样例等各种数据的鼎力相助，发现这个坑对于OIer来说并不难，但当我们发现它，却着实令人倒吸一口凉气。

我们发现二元组

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y) 和

(

i

,

j

)

(i,j)

(i,j) 并不是一一对应！

没错，这有点令人吃惊，发现之初，甚至笔者有那么一瞬间考虑过重新化式子。这时候，冷静的思考就显得格外重要。重新化式子不是不可能，但无疑会令人士气大挫，想要再成功地化式子，除非是顶级高手，不然短时间内绝对办不到。沉吟片刻，我们自然而然地发现了其中的内在关系。

一对

(

x

,

y

)

(x,y)

(x,y) 对应的

(

i

,

j

)

(i,j)

(i,j) 不一定唯一，但它们的数量确是准确的

2

c

o

u

n

t

(

x

)

2^{count(x)}

2count(x)！

c

o

u

n

t

(

x

)

count(x)

count(x) 作为 x 中 1 的个数的定义不必多言，但为什么呢？

从定义入手，确定了 x 和 y 后，

i
  

a

n

d
  

j

i\;and\;j

iandj 就可以确定了，也就是说我们已经确定了

i

i

i 和

j

j

j 中共有的 1 是哪些，这是唯一的，那么接下来 x (

i
  

x

o

r
  

j

i\;xor\;j

ixorj)则确定了

i

i

i 和

j

j

j 中只有其一拥有的 1 的分布，这是不定的，既然这其中任意一个 1 既有可能属于

i

i

i ，又有可能属于

j

j

j ，那么总数不就自然是

2

c

o

u

n

t

(

x

)

2^{count(x)}

2count(x) 了吗？

打通了阻碍后，接下来的化式子便水到渠成：

C

[

k

]

=

∑

x
 

x

o

r
 

y

=

k

A

[

x

]

∗

B

[

y

]

∗

2

c

o

u

n

t

(

x

)

                    

=

∑

x
 

x

o

r
 

y

=

k

(

A

[

x

]

∗

2

c

o

u

n

t

(

x

)

)

∗

B

[

y

]

(

x

⊆

y

)

\begin{matrix}C[k]=\sum_{x\,xor\,y=k}A[x]*B[y]*2^{count(x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=\sum_{x\,xor\,y=k}(A[x]*2^{count(x)})*B[y]\\ (x\subseteq y)\end{matrix}

C[k]=∑xxory=k​A[x]∗B[y]∗2count(x)=∑xxory=k​(A[x]∗2count(x))∗B[y](x⊆y)​
终于长舒一口气，我们可以用代码去演绎了……

_{（最近小说看的有点多，啰嗦了点，但思路应该比较清晰）}

CODE

顺便把FWT全模板附在代码里了，可能与笔者自己的学习笔记有点出入，但无大碍。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN (1<<20|5)
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
char readchar() {
	char s = getchar();while(s == ' ' || s == '\n') s = getchar();
	return s;
}
const int MOD = 998244353;
const int inv2 = 998244354/2;
int n,m,i,j,s,o,k;
//----------------------FWT start-------------------------
int qm(int a,int M) {return (a>M? a-M:a);}
void DWTOR(int *s,int n) {
	for(int k = 1;k < n;k <<= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i+k] += s[i]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}
void IDWTOR(int *s,int n) {
	for(int k = n/2;k > 0;k >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i+k] += MOD-s[i]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}

void DWTAND(int *s,int n) {
	for(int k = 1;k < n;k <<= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i] += s[i+k]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}
void IDWTAND(int *s,int n) {
	for(int k = n/2;k > 0;k >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				(s[i] += MOD-s[i+k]) %= MOD;
			}
		}
	}return ;
}

void DWTXOR(int *s,int n) {
	for(int k = 1;k < n;k <<= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				int A = s[i],B = s[i+k];
				s[i] = qm((A + B) , MOD);
				s[i+k] = qm((A +MOD- B) , MOD);
			}
		}
	}return ;
}
void IDWTXOR(int *s,int n) {
	for(int k = n/2;k > 0;k >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += (k<<1)) {
			for(int i = j;i < j+k;i ++) {
				int A = s[i],B = s[i+k];
				s[i] = qm((A + B) , MOD) *1ll*inv2 % MOD;
				s[i+k] = qm((A +MOD- B) , MOD) *1ll*inv2 % MOD;
			}
		}
	}return ;
}
//----------------------FWT end---------------------------
int ct[MAXN],po[MAXN];
int A[21][MAXN],B[21][MAXN],C[21][MAXN];
int aa[MAXN],bb[MAXN],cc[MAXN];
int main() {
	n = read();m = (1<<n);
	po[0] = 1;
	for(int i = 1;i < m;i ++) {
		ct[i] = ct[i - lowbit(i)] + 1;
		po[i] = po[i - 1] * 1526ll % MOD;
	}
	for(int i = 0;i < m;i ++) A[ct[i]][i] = read()*(1ll<<ct[i]) % MOD;
	for(int i = 0;i < m;i ++) B[ct[i]][i] = read();
	for(int i = 0;i <= n;i ++) DWTXOR(A[i],m),DWTXOR(B[i],m);
	for(int i = 0;i <= n;i ++) {
		for(int j = i;j <= n;j ++) {
			for(int k = 0;k < m;k ++) {
				(C[i][k] += A[j-i][k] *1ll* B[j][k] % MOD) %= MOD;
			}
		}
		IDWTXOR(C[i],m);
	}
	int ans = 0;
	for(int i = 0;i < m;i ++) {
		(ans += C[ct[i]][i] *1ll* po[i] % MOD) %= MOD;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}