回溯法求解n皇后问题(复习)

回溯法

回溯法是最常用的解题方法，有“通用的解题法”之称。当要解决的问题有若干可行解时，则可以在包含问题所有解的空间树中，按深度优先的策略，从根节点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，继续查找该结点的兄弟结点，若它的兄弟结点都不包含问题的解，则返回其父结点——这个步骤称为回溯。否则进入一个可能包含解的子树，继续按深度优先的策略进行搜索。这种以深度优先的方式搜索问题的解的算法称为回溯法。它本质上是一种穷举法，但由于在搜索过程中不断略过某些显然不合适的子树，所以搜索的空间大大少于一般的穷举，故它适用于解一些组合数较大的问题。

总结一下:

一、基本定义

回溯法（back track method）是在包含问题的所有可能解的解空间树中，从根结点出发，按照深度优先的策略进行搜索，对于解空间树的某个结点，若满足约束条件，则进入该子树继续搜索，否则将以该结点为根结点的子树进行剪枝。

二、适用范围

可避免搜索所有的可能解，适用于求解组合数较大的问题。

三、n皇后问题

问题：在n x n的棋盘上摆放n个皇后，而且n个皇后中的任意两个是不能处于同一行、同一列、或同一斜线上。

用数组x[i]（1≤i≤n）表示n后问题的解。其中x[i]表示皇后i放在棋盘的第i行的第x[i]列。由于不允许将2个皇后放在同一列，所以解向量中的x[i]互不相同。2个皇后不能放在同一斜线上是问题的隐约束。对于一般的n后问题，这一隐约束条件可以化成显约束形式。设2个皇后放置位置为(i,j),(k,l)：

显然，棋盘的每一行上可以而且必须摆放一个皇后，所以，n皇后问题的可能解用一个n元向量X=(x1, x2, …, xn)表示，其中，1≤i≤n并且1≤xi≤n，即第i个皇后放在第i行第xi列上

由于两个皇后不能位于同一列上，所以，解向量X必须满足约束条件：

​ xi≠xj （式1）

若两个皇后摆放的位置分别是(i, xi)和(j, xj)，在棋盘上斜率为-1的斜线上，满足条件i－j= xi－xj，在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i＋j= xi＋xj，综合两种情况，由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须满足约束条件：

​ |i－xi|≠|j－xj| （式2）

为了简化问题，下面讨论四皇后问题:

四皇后问题的解空间树是一个完全4叉树，树的根结点表示搜索的初始状态，对应Backtrack(1,x);从根结点到第2层结点对应皇后1在棋盘中第1行的可能摆放位置，从第2层结点到第3层结点对应皇后2在棋盘中第2行的可能摆放位置，依此类推。

完全4叉树，我只画了一部分，完整的应该是除了叶结点，每个内部结点都有四个子结点，k表示层数：

剪枝之后：

回溯法求解4皇后问题的搜索过程：

当然这个图只表示到找到的第一个解，我们知道还有另外一个解。

代码

变量sum记录可行方案个数，初始为0；

n表示皇后个数，由用户输入；

x[]数组保存问题的解，表示皇后i放在棋盘的第i行第x[i]列,初始时各元素都为0，而我们目的是求出有多少组（x[1],x[2],x[3]……x[n]）满足摆放条件；

output(int x[])函数作用是输出当前找到的一个可行解，只在搜索到叶节点时才会调用；

Place(int k,int x[])函数作用是，对当前行k以上的所有行（即1到k-1行）逐行进行检查，如果该行与上面任何一行相互攻击（即位于同一对角线上了或同列了：abs(i-k)abs(x[i]-x[k]) || x[i]x[k]），那么返回false，否则返回true；

Backtrack(int k,int x[])函数表示搜索解空间中第k层子树，k>n时，算法搜索至叶节点，得到一个新的n皇后互不攻击放置方案，那么输出该方案，可行方案数sum加1；k<=n时，当前扩展节点是解空间的内部节点，该节点有x[1],x[2],x[3]……x[n]共n个子节点，对每一个子节点，用函数Place检查其可行性，如果可行，以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，如果不可行剪枝。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// 记录可行方案个数
int sum=0;
// 表示皇后个数，由用户输入
int n;
// 输出当前找到的一个可行解，只在搜索到叶节点时才会调用
int output(int  x[]){
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++){
      cout << "(" << i << "," << x[i] << ")" << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

// 对当前行k以上的所有行（即1到k-1行）逐行进行检查
bool Place(int k,int  x[]){
     int i;
     for(i=1;i<k;i++){
     if(abs(i-k)==abs(x[i]-x[k]) || x[i]==x[k])
         return false;
     }
     return true;

}

// 见上文详解
int Backtrack(int k,int  x[]){
    int i;
     if(k>n){//如果是叶节点，直接输出找到的一个解
          output(x);
          sum++;
     }
     else{//内部节点，如果满足约束条件，继续深度搜索 。i代表列数，从1到n
         for(i=1;i<=n;i++){
               x[k]=i;
               if(Place(k,x))
               Backtrack(k+1,x);
         }
     }

}

int main(){
    int *x,i;

    cout << "输入皇后个数:" << endl;
    cin >> n;
    cout << endl;

    // 数组保存问题的解,表示皇后i放在棋盘的第i行第x[i]列
    x=new int[n+1];
    // 初始时各元素都为0
    for(i=0;i<=n;i++){
      x[i]=0;
    }

    Backtrack(1,x);

    cout << endl;
    cout << "解的个数：" << sum << endl;

    system("pause");
    return 0;
}

运行结果