动态规划——min/max的单调性优化总结

一般形式：

$max\{min(ax+by+c,dF(x)+eG(y)+f)\},其中F(x)和G(y)是单调函数。$

或

$min\{max(ax+by+c,dF(x)+eG(y)+f)\},其中F(x)和G(y)是单调函数。$

（以下用第一种形式讨论）

(1)dF(x)随ax的增大而增大，eG(y)随by的增大而增大。

ax和by均取最大值。

(2)dF(x)随ax的增大而增大，eG(y)随by的增大而减小。

ax一定取最大值，ax和dF(x)变成常数。

此时变成：

$H(y)=max\{min(by+c,eG(y)+f)\}$

H(y)是个单峰函数。

(3)dF(x)随ax的增大而减小，eG(y)随by的增大而增大。

与(2)类似。

(4)dF(x)随ax的增大而减小，eG(y)随by的增大而减小。

从小到大枚举ax，当ax变大时，dF(x)随着变小：

$max\{min(ax↑+by+c,dF(x)↓+eG(y)+f)\}$

如果by也跟着变大，那么eG(y)随着变小：

$max\{min(ax↑+by↑+c,dF(x)↓+eG(y)↓+f)\}$

由于我们取的是min，这样并没有什么卵用。

所以by只能变小。

$max\{min(ax↑+by↓+c,dF(x)↓+eG(y)↑+f)\}$

所以随着我们从小到大枚举ax，ay单调递减。

枚举ax时，ax和dF(x)变成常数。

此时变成：

$H(y)=max\{min(by+c,eG(y)+f)\}$

H(y)是个单峰函数。