hdu4623：crime 数学优化dp

鞍山热身赛的题，也是去年多校原题

题目大意：

求n个数的排列中满足相邻两个数互质的排列的数量并取模

当时的思路就是状压dp.. dp[i][state]  state用二进制记录某个数是否被取走，i 表示当前序列末尾的数字

然后gcd状态转移

可是n是28，算了一下有几亿个状态。。没法做。。

回来之后找了题解发现可以用数学方法优化，于是搞了半天终于ac了

首先在这个问题中：

两个数是否互质只与他们的质因数有关，所以质因数相同的数是等价的，称作此问题的等价类

质因数找到这些等价类，并得到每个类中的数的数量是很容易的。。

所以只需要对这些等价类进行处理，最后对每个等价类再乘以数量的排列数就可以得到答案了。

不过此时有了数量，就不能用二进制状压了，应该采用哈希来状压。

研究了一会发现哈希状压和二进制状压差不多，只不过把基数从(1+1)^n变成了 (num[1]+1)*(num[2]+1)....也是很好理解的

这些状态处理完，发现对于n=28只有 5600000个状态了，等价类数是17 所以复杂度是17*5600000

一交MLE了。由于取模最大30000，把数组改为short，中间结果int防溢出，不爆内存了。

然后时限30s，以为可以过，结果又T了。。

于是又想了一会，发现17，19，23这三个数与其他任意一个数的互质。。所以他们与 1 是等价的

加了这个优化以后复杂度下降到约为 14*1800000

8800ms AC...

代码如下

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int prime[]={,,,,,,,,};
const int np=;
int state[];
int g[][];
int vi[];
int num[];
int base[];
short dp[][];
bool ok[];
int n,m,ns,st;
void ini()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,,sizeof(g));
    memset(vi,,sizeof(vi));
    memset(num,,sizeof(num));
    ns=;
    state[++ns]=;
    num[ns]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        st=;
        if(ok[i])
        {
            num[]++;
            continue;
        }
        for(int j=;j<np;j++)
        {
            if(i%prime[j]==)
            {
                st|=(<<j);
            }
        }
        if(!vi[st])
        {
            state[++ns]=st;
            num[ns]=;
            vi[st]=ns;
        }
        else
        {
            num[vi[st]]++;
        }
    }
    for(int i=;i<=ns;i++)
    {
        for(int j=;j<=ns;j++)
        {
            if((state[i]&state[j])==)
                g[i][j]=;
        }
    }
    base[]=;
    st=;
    for(int i=;i<=ns;i++)
    {
        base[i+]=base[i]*(num[i]+);
        st+=base[i]*num[i];
    }
}
int getnum(int i,int x)
{
    int res=(x%base[i+])/(base[i]);
    return res;
}
int getstate(int i,int num)
{
    return num*base[i];
}
void dfs(int t,int x)
{
    if(t==)
    {
        dp[x][]=;
        return ;
    }
    if(dp[x][t]!=-)
        return;
    dp[x][t]=;
    for(int i=;i<=ns;i++)
    {
        if(g[x][i]&&getnum(i,t)>=)
        {
            dfs(t-base[i],i);
            dp[x][t]=((int)dp[x][t]+dp[i][t-base[i]])%m;
        }
    }
    return;
}
int main()
{
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif // ONLINE_JUDGE
    int T;
    scanf("%d",&T);
    memset(ok,,sizeof(ok));
    ok[]=;
    ok[]=;
    ok[]=;
    while(T--)
    {
        ini();
        memset(dp,-,sizeof(dp));
        int ans=;
        for(int i=;i<=ns;i++)
        {
            dfs(st-base[i],i);
            ans=((int)ans+dp[i][st-base[i]])%m;
        }
        for(int i=;i<=ns;i++)
        {
            while(num[i]>)
            {
                ans=((int)ans*num[i])%m;
                num[i]--;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
}