浅谈算法——AC自动机

在学习AC自动机之前，你需要两个前置知识：Trie树，KMP

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首先我们需要明白，AC自动机是干什么的(用来自动AC的)

大家都知道KMP算法是求单字符串对单字符串的匹配问题的，那么多字符在单字符上匹配该怎么办？

我们举个栗子

——求 aabb 在 aabababbbabbabbababb 中出现了多少次？这个很明显KMP即可

——求 ab aab abbb abab bab 分别在 abbabbabababababba 中出现了多少次？嗯……对每个串分别跑一次KMP？这样如果串非常多的话，复杂度可想而知

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那这个时候我们应该怎么办呢？当然是用AC自动机了

所以AC自动机是啥啊？

AC自动机：Aho-Corasick automation，该算法在1975年产生于贝尔实验室，是著名的多模匹配算法。——某度百科

算了，这东西看不看都一样，我们来正式讲解一下AC自动机

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AC自动机需要预先知道所有西药匹配的串，例如：her she shr

然后我们对它们构建一棵Trie树

红色的是结束节点，然后我们在这棵Trie树上构建Fail指针，所谓Fail指针，就和KMP中的Next数组类似，我们先把构建好Fail指针的图放上来

这图画的真TM丑……Graphviz这东西我还不太会用……

然后虚线箭头就是Fail指针（说是指针，拿数组存着也行），至于那些奇奇怪怪的颜色……不要在意这些细节

我们先不管Fail指针怎么建出来的，我们先看看这玩意干啥，每次沿着Trie树匹配，如果失配后，直接跳转到失配指针，然后继续匹配

比如现在在节点6，若要继续匹配'r'，则沿着Fail指针跳跃，到节点2，然后既可以匹配'r'到3号节点

所以说，Fail指针其实就是KMP的Next数组，它的意义就是找到一个最长的等于其后缀的串

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话说回来，Fail指针应该如何构建？从dalao的博客里得知：Fail指针是沿着其父亲的Fail指针，一路向上，直到找到拥有当前这个字母的子节点的节点的那个子节点

哇……感觉好复杂，我也是这么想的。不过，画个图一看，好像还真是这样，值得一提的是，第二层的所有节点的Fail指针都需要指向Trie树的根节点

建Fail指针算一个BFS的过程，因为每次要用到父亲节点的Fail指针，然后每次建Fail指针的时候都需要不断跳跳跳？当然不用，那我们该怎么办？

扔段代码看一下吧

void make_fail(){
    static int h[N+10];
    int head=1,tail=0;
    for (int i=0;i<26;i++)	if (trie[root][i])	h[++tail]=trie[root][i];
    //预处理第二层的Fail指针
    for (;head<=tail;head++){
        int Now=h[head];
        for (int i=0;i<26;i++){
            if (trie[Now][i]){
                int son=trie[Now][i];
                fail[son]=trie[fail[Now]][i];
                //子节点的Fail指针指向当前节点的Fail指针指向的节点的相同子节点
                h[++tail]=son;
            }else	trie[Now][i]=trie[fail[Now]][i];
            //不存在这个子节点的话，则将该节点实体化，方便之后的寻找（也就是不用跳跳跳了）
        }
    }
}

这个实际意义上来讲已经不是Trie树了，这应该是个Trie图，但如果碰到字符集大小非常巨大的时候，显然不能建Trie图，所以我们还是要暴力跳跳跳，然后也放段代码

void make_fail(){
    static int h[N+10];
    int head=1,tail=1; h[1]=root;
    for (;head<=tail;head++){
        int Now=h[head];
        for (map<node,int>::iterator it=trie[Now].begin();it!=trie[Now].end();it++){
            int p=fail[Now];
            while (p&&trie[p].find(it->Fi)==trie[p].end())	p=fail[p];
            //暴力跳跳跳
            fail[it->Se]=p?trie[p].find(it->Fi)->Se:root;
            h[++tail]=it->Se;
        }
    }
}

然后由于字符集很大，所以我们就用map来存储，然后我的map写法可能比较清奇，凑合着看吧……

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然后Fail指针建完了，我们就可以直接匹配了～

贴个板子题好了

P3796 【模板】AC自动机（加强版）

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1;char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')    f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)    putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e6,M=1.5e4;
char str[200][100];
struct S1{
	int trie[M+10][26],fail[M+10],End[M+10];
	int root,tot;
	void init(){
		root=tot=0;
		memset(End,0,sizeof(End));
		memset(trie,0,sizeof(trie));
		memset(fail,0,sizeof(fail));
	}
	void insert(int ID){
		int len=strlen(str[ID]),p=root;
		for (int i=0;i<len;i++){
			if (!trie[p][str[ID][i]-'a'])	trie[p][str[ID][i]-'a']=++tot;
			p=trie[p][str[ID][i]-'a'];
		}
		End[p]=ID;
	}
	void make_fail(){
		static int h[M+10];
		int head=1,tail=0;
		for (int i=0;i<26;i++)	if (trie[root][i])	h[++tail]=trie[root][i];
		for (;head<=tail;head++){
			int Now=h[head];
			for (int i=0;i<26;i++){
				if (trie[Now][i]){
					int son=trie[Now][i];
					fail[son]=trie[fail[Now]][i];
					h[++tail]=son;
				}else	trie[Now][i]=trie[fail[Now]][i];
			}
		}
	}
	void check(char *s,int n){
		static int Ans[200];
		memset(Ans,0,sizeof(Ans));
		int len=strlen(s),p=root,Max=0;
		for (int i=0;i<len;i++){
			p=trie[p][s[i]-'a'];
			for (int x=p;x;x=fail[x])	Ans[End[x]]++;
		}
		for (int i=1;i<=n;i++)	Max=max(Max,Ans[i]);
		printf("%d\n",Max);
		for (int i=1;i<=n;i++)	if (Max==Ans[i])	printf("%s\n",str[i]);
	}
}AC;//Aho-Corasick automaton
char T[N+10];
int main(){
	while (true){
		AC.init();
		int n=read();
		if (!n)	break;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%s",str[i]);
			AC.insert(i);
		}
		AC.make_fail();
		scanf("%s",T);
		AC.check(T,n);
	}
	return 0;
}