[atARC066F]Contest with Drinks Hard

先不考虑修改，那么很明显即对于每一个极长的的区间，若其长度为$l$，有${l+1\choose 2}$的贡献

考虑dp去做，即$f_{i}$表示前$i$个数最大的答案，则
$$
f_{i}=\max(\max_{0\le j<i}f_{j}+{i-j+1\choose 2}-(sum_{i}-sum_{j}),f_{i-1})
$$
（其中$sum_{i}$为$a_{i}$的前缀和，即$sum_{i}=sum_{i-1}+a_{i}$）

另外，转移中允许$j$上被选择，但这显然不如直接从上一个区间左端点转移更优，因此没关系

将${i-j+1\choose 2}$展开，即
$$
f_{i}=\max({i+1\choose 2}-sum_{i}+\max_{0\le j<i}(f_{j}+{j\choose 2}+sum_{j})-ij,f_{i-1})
$$

这个与普通的斜率优化不同，维护的不是凸包（取最小值即维护凸包），具体过程如下：

这个问题可以看作$\forall 0\le j<i,y=-jx+(f_{j}+{j\choose 2}+sum_{j})$这些直线在$x=i$时的最大值

维护一个栈，插入当前直线，若当前直线与栈顶直线交点在栈顶与下一条直线交点右侧，即可弹出栈顶，最终插入当前直线

对于求$i$上的最大值，也就是二分找到单调栈中相邻两条直线交点（显然这个交点具有单调递增的性质）第一个在$x=i$右侧的位置，取这个两条直线中靠近栈顶的直线即可

另外由于$i$单调递增，二分其实并不需要，借助单调性就可以找到该位置了

由此，我们就可以$o(n)$处理出一个前缀和后缀的答案，分别记作$pre_{i}$和$suf_{i}$

对于一个询问$(x,y)$，如果不选择该位置，答案也就是$pre_{x-1}+suf_{x+1}$，如果选择该位置，枚举该位置所对应的区间，答案为
$$
\max_{x\in [l,r]}pre_{l-1}+suf_{r+1}+{r-l+2\choose 2}-(sum_{r}-sum_{l-1}+(y-a_{x}))
$$
化简后，可以发现即
$$
(pre_{l-1}+\frac{l^{2}-3l}{2}+sum_{l-1})+(suf_{r+1}+\frac{r^{2}+3r}{2}-sum_{r})-lr+(a_{x}-y+1)
$$
第一个和第二个式子分别与$l$和$r$有关，以下记为$A_{l}$和$B_{r}$，若预处理出$ans_{x}=\max_{x\in [l,r]}A_{l}+B_{r}-lr$，则询问答案即
$$
\max(ans_{x}+(a_{x}-y+1),pre_{x-1}+suf_{x+1})
$$
以下问题即求$ans_{x}$，考虑用$solve(L,R)$表示求出$\forall x\in [L,R],ans'_{x}=\max_{x\in [l,r]\subseteq [L,R]}A_{l}+B_{r}-lr$，那么所要执行的也就是$solve(1,n)$

关于$solve(L,R)$的计算显然是分治，将$[l,r]$是否跨越$mid=\lfloor\frac{L+R}{2}\rfloor$分类讨论：

1.若$[l,r]$未跨越$mid$（即$[l,r]\subseteq [L,mid]$或$[l,r]\subseteq [mid+1,R]$），递归处理，求出最大值后再与下面这种情况取max即可

2.若$[l,r]$跨越$mid$，不妨假设$x\in [L,mid]$（再另一边类似），$\forall l\in [L,mid]$去求出$r\in [mid+1,R]$的最大值，那么前缀最大之就是答案

当确定$l$后，后者也就是$A_{l}+\max_{r\in [mid+1,R]}-rl+B_{r}$，也就是若干条直线在$l$上的最大值，用与之前一样的方式用单调栈预处理即可

同样可以利用单调性做到线性，因此总复杂度即分治复杂度，为$o(n\log n)

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 300005
 4 #define ll long long
 5 struct line{
 6     int k;
 7     ll b;
 8     ll get(int x){
 9         return 1LL*k*x+b;
10     }
11 }st[N];
12 int n,m,x,y,a[N];
13 ll sum[N],pre[N],suf[N],A[N],B[N],c[N],ans[N];
14 double get_cross(line x,line y){
15     return -1.0*(x.b-y.b)/(x.k-y.k);
16 }
17 void add(line k){
18     while ((m>1)&&(get_cross(st[m],k)>get_cross(st[m],st[m-1])))m--;
19     st[++m]=k;
20 }
21 void solve(int l,int r){
22     if (l==r)return;
23     int mid=(l+r>>1);
24     solve(l,mid);
25     solve(mid+1,r);
26     m=0;
27     for(int i=mid+1;i<=r;i++)add(line{-i,B[i]});
28     for(int i=l,pos=m;i<=mid;i++){
29         while ((pos>1)&&(get_cross(st[pos],st[pos-1])<i))pos--;
30         c[i]=st[pos].get(i)+A[i];
31     }
32     for(int i=l;i<mid;i++)c[i+1]=max(c[i+1],c[i]);
33     m=0;
34     for(int i=l;i<=mid;i++)add(line{-i,A[i]});
35     for(int i=mid+1,pos=m;i<=r;i++){
36         while ((pos>1)&&(get_cross(st[pos],st[pos-1])<i))pos--;
37         c[i]=st[pos].get(i)+B[i];
38     }
39     for(int i=r;i>mid+1;i--)c[i-1]=max(c[i-1],c[i]);
40     for(int i=l;i<=r;i++)ans[i]=max(ans[i],c[i]);
41 }
42 int main(){
43     scanf("%d",&n);
44     for(int i=1;i<=n;i++){
45         scanf("%d",&a[i]);
46         sum[i]=sum[i-1]+a[i];
47     }
48     add(line{0,0});
49     int pos=1;
50     for(int i=1;i<=n;i++){
51         if (pos+1>=m)pos=m;
52         while ((pos>1)&&(get_cross(st[pos],st[pos-1])<i))pos--;
53         pre[i]=max(pre[i-1],st[pos].get(i)+1LL*(i+1)*i/2-sum[i]);
54         add(line{-i,pre[i]+1LL*i*(i-1)/2+sum[i]});
55     }
56     for(int i=n;i;i--)sum[i]=sum[i+1]+a[i];
57     reverse(sum+1,sum+n+1);
58     m=0,add(line{0,0}),pos=1;
59     for(int i=1;i<=n;i++){
60         if (pos+1>=m)pos=m;
61         while ((pos>1)&&(get_cross(st[pos],st[pos-1])<i))pos--;
62         suf[n-i+1]=max(suf[n-i+2],st[pos].get(i)+1LL*(i+1)*i/2-sum[i]);
63         add(line{-i,suf[n-i+1]+1LL*i*(i-1)/2+sum[i]});
64     }
65     for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+a[i];
66     for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=pre[i-1]+1LL*i*(i-3)/2+sum[i-1];
67     for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=suf[i+1]+1LL*i*(i+3)/2-sum[i];
68     for(int i=1;i<=n;i++)ans[i]=A[i]+B[i]-1LL*i*i;
69     solve(1,n);
70     scanf("%d",&m);
71     for(int i=1;i<=m;i++){
72         scanf("%d%d",&x,&y);
73         printf("%d\n",max(pre[x-1]+suf[x+1],ans[x]+(a[x]-y+1)));
74     }
75 }