[luogu5438]记忆

令$f(x)=\frac{x}{\max_{k^{2}|x}k^{2}}$，最优解即将$f(l),f(l+1),...,f(r)$排序，那么每存在一种不同的数则答案减1，那么$x$出现当且仅当$f(x)=x$且存在$k$满足$l\le xk^{2}\le r$

枚举$k$，那么即求$(\lfloor\frac{l-1}{k^{2}}\rfloor,\lfloor\frac{r}{k^{2}}\rfloor]$中有多少个数最大平方因子为1，但同时还有重复，即区间右端点要对上一次左端点取min，之后拆成两个前缀和，即求$[1,n]$中$f(x)=x$的数个数

类似洛谷4318，容斥即$\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}\mu(i)\lfloor\frac{n}{i^{2}}\rfloor$，再对$i$数论分块，对于$i\le n^{\frac{1}{3}}$，共$o(n^{\frac{1}{3}})$种；对于$i>n^{\frac{1}{3}}$，则有$\frac{n}{i^{2}}\le n^{\frac{1}{3}}$，同样共$o(n^{\frac{1}{3}})$种

再对外层$k$数论分块，对于较小的一部分直接线性筛求出$\mu$，对于较大的部分套用上面的做法，考虑复杂度：对于$k\le r^{x}$，复杂度为$r^{\frac{1}{3}}\int_{0}^{r^{x}}k^{-\frac{2}{3}}\ dk=o(r^{\frac{x+1}{3}})$；对于$k>r^{x}$，则有$\frac{r}{k^{2}}\le r^{1-2x}$，复杂度为$o(r^{1-2x})$

取$\frac{x+1}{3}=1-2x$，解得$x=\frac{2}{7}$，总复杂度为$o(r^\frac{3}{7})$，可以通过

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 #define N 10000005
 4 #define ll long long
 5 int p[N],vis[N],mu[N],s1[N],s2[N];
 6 ll l,r,ans;
 7 ll calc(ll n){
 8     if (n<N-4)return s2[n];
 9     ll ans=0;
10     for(ll i=1,j;i*i<=n;i=j+1){
11         j=(ll)sqrt(n/(n/(i*i)));
12         ans+=n/(i*i)*(s1[j]-s1[i-1]);
13     }
14     return ans;
15 }
16 int main(){
17     mu[1]=1;
18     for(int i=2;i<N-4;i++){
19         if (!vis[i]){
20             p[++p[0]]=i;
21             mu[i]=-1;
22         }
23         for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<N-4);j++){
24             vis[i*p[j]]=1;
25             if (i%p[j])mu[i*p[j]]=mu[i]*mu[p[j]];
26             else{
27                 mu[i*p[j]]=0;
28                 break;
29             }
30         }
31     }
32     for(int i=1;i<N-4;i++){
33         s1[i]=s1[i-1]+mu[i];
34         s2[i]=s2[i-1]+mu[i]*mu[i];
35     }
36     scanf("%lld%lld",&l,&r);
37     l--;
38     ans=r-l;
39     ll las=r;
40     for(ll i=1,j;i*i<=r;i=j+1){
41         if (i*i>l)j=(ll)sqrt(r/(r/(i*i)));
42         else j=(ll)sqrt(min(l/(l/(i*i)),r/(r/(i*i))));
43         ans-=calc(min(r/(i*i),las))-calc(l/(i*i));
44         las=l/(i*i);
45     }
46     printf("%lld",ans);
47 }