求和：fft，表达式化简

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} S(i,j) \times 2^j \times j!$

其中$S(i,j)$为第二类斯特林数,公式为$S(i,j)=\frac{1}{j!} \sum\limits_{k=0}^{j} (-1)^k C(j,k) (j-k)^i$

求$f(n)$,$n<=100000$,答案对$998244353(=2^{23} \times 7 \times 17 + 1)$取模

$f(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} 2^j \times \sum\limits_{k=0}^{j} (-1)^k \times \frac{j!}{k! \times (j-k)!} \times (j-k)^i$

$=\sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{i} 2^j \times j! \times \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{(j-k)^i}{(j-k)!} \times \frac{(-1)^k}{k!}$

$=\sum\limits_{j=0}^{n} 2^j \times j! \times \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{\sum\limits_{i=0}^{n}(j-k)^i}{(j-k)!} \times \frac{(-1)^k}{k!}$

可以发现，$\sum\limits_{i=0}^{n}(j-k)^i$项就是一个等比数列求和，可以快速幂求出。

那么两个分数分别只与j-k和k有关了，相乘的话，就是卷积形式FFT求出，枚举最外层j即可。

Update10/04:

终于抽出时间码完啦，少打了一个等号调了半天～

 #include<cstdio>
 #define mod 998244353
 #define int long long
 int rev[],bin=,n,fac[],inv[],invv[],INV,sumpw[];
 int a[],b[],sum;
 int pow(int b,int t,int a=){for(;t;t>>=,b=b*b%mod)if(t&)a=a*b%mod;return a;}
 void NTT(int *a,int opt){
     for(int i=;i<bin;++i)if(i<rev[i])a[i]^=a[rev[i]]^=a[i]^=a[rev[i]];
     for(int mid=,wn=pow(,mod->>);mid<bin;mid<<=,wn=pow(,(mod-)//mid*opt+mod-))
         for(int i=;i<bin;i+=mid<<)
             for(int j=,w=;j<mid;++j,w=w*wn%mod){
                 int x=a[i+j],y=a[i+j+mid]*w%mod;
                 a[i+j]=(x+y)%mod;a[i+j+mid]=(mod+x-y)%mod;
             }
     if(opt==-)for(int i=;i<bin;++i)a[i]=a[i]*INV%mod;
 }
 main(){
     scanf("%lld",&n);
     while(bin<=n<<)bin<<=;//printf("%lld\n",bin);
     for(int i=;i<bin;++i)rev[i]=rev[i>>]>>|(i&)*bin>>;
     INV=pow(bin,mod-);
     fac[]=inv[]=invv[]=fac[]=inv[]=sumpw[]=;
     for(int i=;i<=n;++i)fac[i]=fac[i-]*i%mod,invv[i]=-mod/i*invv[mod%i]%mod+mod,inv[i]=inv[i-]*invv[i]%mod;
     sumpw[]=n+;for(int i=;i<=n;++i)sumpw[i]=(pow(i,n+)-)*invv[i-]%mod;
     for(int i=;i<=n;++i)a[i]=sumpw[i]*inv[i]%mod,b[i]=pow(mod-,i)*inv[i]%mod;//,printf("%lld %lld\n",a[i],b[i]);
     NTT(a,);NTT(b,);
     for(int i=;i<bin;++i)a[i]=a[i]*b[i]%mod;
     NTT(a,-);//for(int i=0;i<bin;++i)printf("%lld\n",a[i]);
     for(int j=;j<=n;++j)sum=(sum+pow(,j)*fac[j]%mod*a[j])%mod;
     printf("%lld\n",sum);
 }