bzoj 2818 Gcd（欧拉函数 | 莫比乌斯反演）

【题目链接】

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

【题意】

　　问(x,y)为质数的有序点对的数目。

【思路一】

　　定义f[i]表示i之前(x,y)=1的有序点对的数目，则有递推式：

　　f[1]=1

　　f[i]=f[i-1]+phi[i]*2

　　我们依次枚举小于n的所有素数，对于素数t，(x,y)=t的数目等于(x/t,y/t)，即f[n/t]。

【代码一】

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 1e7+;

 int su[N],tot,phi[N];
 ll f[N];

 void get_pre(int n)
 {
     phi[]=;
     for(int i=;i<=n;i++) if(!phi[i]) {
         su[++tot]=i;
         for(int j=i;j<=n;j+=i) {
             if(!phi[j]) phi[j]=j;
             phi[j]=phi[j]/i*(i-);
         }
     }
     f[]=;
     for(int i=;i<=n;i++) f[i]=f[i-]+*phi[i];
 }

 int n;

 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     get_pre(n);
     ll ans=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
         ans+=f[n/su[i]];
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

【思路二】

　　其它思路一样，不同的是使用莫比乌斯反演计算(x,y)=1的数目，累计答案的时间复杂度为O(n sqrt(n))

　　推倒过程：

【代码二】

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 using namespace std;

 typedef long long ll;
 const int N = 1e7+;

 int su[N],mu[N],tot,vis[N];

 void get_mu(int n)
 {
     mu[]=;
     for(int i=;i<=n;i++) {
         if(!vis[i]) {
             su[++tot]=i;
             mu[i]=-;
         }
         for(int j=;j<=tot&&su[j]*i<=n;j++) {
             vis[i*su[j]]=;
             if(i%su[j]==) mu[i*su[j]]=;
             else mu[i*su[j]]=-mu[i];
         }
     }
     for(int i=;i<=n;i++) mu[i]+=mu[i-];
 }

 int n;

 ll calc(int n)
 {
     int i,last; ll ans=;
     for(int i=;i<=n;i=last+) {
         last=n/(n/i);
         ans+=(ll)(n/i)*(n/i)*(mu[last]-mu[i-]);
     }
     return ans;
 }

 int main()
 {
 //    freopen("in.in","r",stdin);
 //    freopen("out.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n);
     get_mu(n);
     ll ans=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
         ans+=calc(n/su[i]);
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }

UPD.16/4/8

　　另外莫比乌斯反演还有一种O(n)预处理O(sqrt(n))查询的做法 click Here