SPOJ-7001 VLATTICE 莫比乌斯反演定理

　　题目链接：http://www.spoj.com/problems/VLATTICE/

　　题意：求gcd(x,y,z)=1,1<=x,y,z<=n,的个数。

　　开始做的时候枚举gcd(x,y)，然后求z与gcd(x,y)互素的个数个数，O(n*sqrt(n))赌赌RP，然后TLE了。。。

　　后来才知道要用到莫比乌斯反演定理：　　

　　　　已知 f(n) = sigma(d|n, g(d))

　　　　那么 g(n) = sigma(d|n, mu(d)*f(n/d))

　　还有另一种形式更常用：

　　　　在某一范围内，已知 f(n) = sigma(n|d, g(d))

　　　　那么 g(n) = sigma(n|d, mu(d/n)*f(d))

　　这个题目用到了第二种形式，设g(n)为gcd(x,y,z)=n的个数，f(n)为n | g(i*n)的个数，那么有f(n)=sigma(n|d,g(d))，那么g(n)=sigma(n|d, mu(d/n)*f(d))，我们要求g(1)，则g(1)=sigma(n|d, mu(d)*f(d))，其中mu(n)是莫比乌斯函数：

　　　　　　　　　　　　

　　上面的公式忘打括号了，(-1)^k...

　　因为f(d)=(n/d)*(n/d)*(n/d)，所以g(1)=sigma( mu(d)*(n/d)*(n/d)*(n/d) ).

　　然后用线性筛法在O(n)的时间内求出mu(n)就可以了。。

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 #include <functional>
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 using namespace std;
 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
 //using namespace __gnu_cxx;
 //define
 #define pii pair<int,int>
 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
 #define lson l,mid,rt<<1
 #define rson mid+1,r,rt<<1|1
 #define PI acos(-1.0)
 //typedef
 typedef long long LL;
 typedef unsigned long long ULL;
 //const
 const int N=;
 const int INF=0x3f3f3f3f;
 const int MOD=,STA=;
 const LL LNF=1LL<<;
 const double EPS=1e-;
 const double OO=1e15;
 const int dx[]={-,,,};
 const int dy[]={,,,-};
 const int day[]={,,,,,,,,,,,,};
 //Daily Use ...
 inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}
 template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}
 template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}
 template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}
 template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}
 template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}
 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}
 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}
 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}
 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}
 //End
 int isprime[N],mu[N],prime[N];
 int cnt;
 void Mobius(int n)
 {
     int i,j;
     //Init phi[N],prime[N],全局变量初始为0
     cnt=;mu[]=;
     for(i=;i<=n;i++){
         if(!isprime[i]){
             prime[cnt++]=i;  //prime[i]=1;为素数表
             mu[i]=-;
         }
         for(j=;j<cnt && i*prime[j]<=n;j++){
             isprime[i*prime[j]]=;
             if(i%prime[j])
                 mu[i*prime[j]]=-mu[i];
             else {mu[i*prime[j]]=;break;}
         }
     }
 }

 int T,n;

 int main(){
  //   freopen("in.txt","r",stdin);
     int i,j,t;
     LL ans;
     Mobius();
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d",&n);
         ans=;
         for(i=;i<=n;i++)ans+=(LL)mu[i]*(n/i)*(n/i)*((n/i)+);
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }