AHOI2009最小割

1797: [Ahoi2009]Mincut 最小割

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Description

A,B两个国家正在交战，其中A国的物资运输网中有N个中转站，M条单向道路。设其中第i (1≤i≤M)条道路连接了vi,ui两个中转站，那么中转站vi可以通过该道路到达ui中转站，如果切断这条道路，需要代价ci。现在B国想找出一个路径切断方案，使中转站s不能到达中转站t，并且切断路径的代价之和最小。 小可可一眼就看出，这是一个求最小割的问题。但爱思考的小可可并不局限于此。现在他对每条单向道路提出两个问题： 问题一：是否存在一个最小代价路径切断方案，其中该道路被切断？ 问题二：是否对任何一个最小代价路径切断方案，都有该道路被切断？ 现在请你回答这两个问题。

Input

第一行有4个正整数，依次为N,M,s和t。第2行到第(M+1)行每行3个正 整数v,u,c表示v中转站到u中转站之间有单向道路相连，单向道路的起点是v， 终点是u,切断它的代价是c(1≤c≤100000)。 注意:两个中转站之间可能有多条道路直接相连。 同一行相邻两数之间可能有一个或多个空格。

Output

对每条单向边，按输入顺序，依次输出一行，包含两个非0即1的整数，分 别表示对问题一和问题二的回答(其中输出1表示是，输出0表示否)。 同一行相邻两数之间用一个空格隔开，每行开头和末尾没有多余空格。

Sample Input

6 7 1 6
1 2 3
1 3 2
2 4 4
2 5 1
3 5 5
4 6 2
5 6 3

Sample Output

1 0
1 0
0 0
1 0
0 0
1 0
1 0

HINT

设第(i+1)行输入的边为i号边，那么{1,2},{6,7},{2,4,6}是仅有的三个最小代价切割方案。它们的并是{1,2,4,6,7}，交是 。

【数据规模和约定】

测试数据规模如下表所示 
数据编号 N M 数据编号 N M 
1 10 50 6 1000 20000 
2 20 200 7 1000 40000 
3 200 2000 8 2000 50000 
4 200 2000 9 3000 60000 
5 1000 20000 10 4000 60000

Source

Day1

题解：摘自jcvb

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一个有向图，源点s，汇点t，问哪些边能够出现在某个最小割集中，哪些边必定出现在最小割集中。

求最大流，在残余网络上跑tarjan求出所有SCC，记id[u]为点u所在SCC的编号。显然有id[s]!=id[t]（否则s到t有通路，能继续增广）。
①对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)能够出现在某个最小割集中，当且仅当id[u]!=id[v]；
②对于任意一条满流边(u,v)，(u,v)必定出现在最小割集中，当且仅当id[u]==id[s]且id[v]==id[t]。

简要写一下证明：
首先，由最大流最小割定理易知最小割中的割边一定是满流边。
①
==>如果id[u]==id[v]，则残余网络存在u->v的通路，通过(u,v)的割也必然通过这条通路上的某条非满流边，不会是最小割。（update:QAQ后来发现这个证明有问题。。。到时候再想想）
<==将每个SCC缩成一个点，得到的新图就只含有满流边了。那么新图的任一s-t割都对应原图的某个最小割，从中任取一个把id[u]和id[v]割开的割即可证明。

②
<==：假设将(u,v)的边权增大，那么残余网络中会出现s->u->v->t的通路，从而能继续增广，于是最大流流量（也就是最小割容量）会增大。这即说明(u,v)是最小割集中必须出现的边。
==>：上面的证明可以反推回去，略。

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结论是正确的，可以AC

代码：

  const inf=maxlongint;
 type node=record
      from,go,next,v:longint;
      end;
 var  tot,i,j,n,m,maxflow,l,r,s,t,x,y,z,ti,top,cnt,xx,yy:longint;
      h,head,q,cur,low,dfn,sta,scc:array[..] of longint;
      e:array[..] of node;
      function min(x,y:longint):longint;
       begin
       if x<y then exit(x) else exit(y);
       end;
 procedure ins(x,y,z:longint);
  begin
  inc(tot);
  e[tot].from:=x;e[tot].go:=y;e[tot].v:=z;e[tot].next:=head[x];head[x]:=tot;
  end;
 procedure insert(x,y,z:longint);
  begin
  ins(x,y,z);ins(y,x,);
  end;
 function bfs:boolean;
  var i,x,y:longint;
  begin
  fillchar(h,sizeof(h),);
  l:=;r:=;q[]:=s;h[s]:=;
  while l<r do
   begin
   inc(l);
   x:=q[l];
   i:=head[x];
   while i<> do
    begin
    y:=e[i].go;
    if (e[i].v<>) and (h[y]=) then
     begin
      h[y]:=h[x]+;
      inc(r);q[r]:=y;
     end;
    i:=e[i].next;
    end;
   end;
  exit (h[t]<>);
  end;
 function dfs(x,f:longint):longint;
  var i,y,used,tmp:longint;
  begin
  if x=t then exit(f);
  used:=;
  i:=cur[x];
  while i<> do
   begin
   y:=e[i].go;
   if (h[y]=h[x]+) and (e[i].v<>) then
    begin
    tmp:=dfs(y,min(e[i].v,f-used));
    dec(e[i].v,tmp);if e[i].v<> then cur[x]:=i;
    inc(e[i xor ].v,tmp);
    inc(used,tmp);
    if used=f then exit(f);
    end;
   i:=e[i].next;
   end;
  if used= then h[x]:=-;
  exit(used);
  end;
 procedure dinic;
  begin
  while bfs do
   begin
   for i:= to n do cur[i]:=head[i];
   inc(maxflow,dfs(s,inf));
   end;
  end;
 procedure init;
  begin
  tot:=;
  readln(n,m,s,t);
      for i:= to m do
       begin
         readln(x,y,z);
         insert(x,y,z);
       end;
  end;
 procedure dfs(x:longint);
  var i,y,z:longint;
  begin
  inc(ti);dfn[x]:=ti;low[x]:=ti;inc(top);sta[top]:=x;
  i:=head[x];
  while i<> do
   begin
    y:=e[i].go;
    if e[i].v<> then
     begin
      if dfn[y]= then
       begin
        dfs(y);
       low[x]:=min(low[x],low[y]);
       end
     else if scc[y]= then low[x]:=min(low[x],dfn[y]);
     end;
   i:=e[i].next;
   end;
  if low[x]=dfn[x] then
   begin
   inc(cnt);
   while true do
    begin
    z:=sta[top];dec(top);
    scc[z]:=cnt;
    if z=x then break;
    end;
   end;
  end;
 procedure tarjan;
  begin
  ti:=;cnt:=;ti:=;
  fillchar(dfn,sizeof(dfn),);
  for i:= to n do if dfn[i]= then dfs(i);
  end;
 procedure main;
  begin
   dinic;
   tarjan;
   x:=scc[s];y:=scc[t];
   for i:= to tot do
    if (i and =) then
      begin
      if e[i].v<> then begin writeln('0 0');continue;end;
      xx:=scc[e[i].from];yy:=scc[e[i].go];
      if xx<>yy then write('') else write('');write(' ');
      if (xx=x) and (yy=y) then write('') else write('');
      writeln;
      end;
  end;
 begin
  assign(input,'input.txt');assign(output,'output.txt');
  reset(input);rewrite(output);
  init;
  main;
  close(input);close(output);
 end.