BZOJ 3944 Sum 解题报告

我们考虑令：
\[F_n = \sum_{d|n}\varphi(d)\]

那么，有：
\[\sum_{i=1}^{n}F_i = \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d) = \sum_{d=1}^{n}\varphi(d)\times \lfloor\frac{n}{d}\rfloor = \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i)\]

为什么最后一步可以这么转化呢？我们考虑一个 \(i\) ，论 \(\varphi(i)\) 对答案的贡献：

在最后一个等式的左边，\(\varphi(i)\) 对答案的贡献为：\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，这很显然。

在等式的右边，当 \(i\times d \le n\) 的时候，\(\varphi(i)\)才会对答案产生贡献，所以对于每一个 \(d\le\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)，\(\varphi(i)\)都会对答案产生贡献，所以在等式右边，\(\varphi(i)\) 对答案的贡献也为：\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)。

于是等式是成立的。

那么就有：
\[\sum_{i=1}^{n}\varphi(i) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d) - \sum_{d=2}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i)\]

还有：
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d) = \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n\times(n+1)}{2}\]

所以：
\[\sum_{i=1}^{n}\varphi(i) = \frac{n\times(n+1)}{2} - \sum_{d=2}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i)\]

所以算\(\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)\)的时候就可以记忆化搜索啦。

据说，我们把 \(N^{\frac{2}{3}}\) 之内的答案先筛出来，然后再进行记忆化搜索，复杂度就是 \(O(N^{\frac{2}{3}})\)的了。

然后同理，有：
\[\sum_{i=1}^{n}\mu(i) = 1 - \sum_{d=2}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(i)\]

时空复杂度均为 \(O(N^{\frac{2}{3}})\) 。

毕竟 Gromah 这么弱，不可能自己推出来这些东西。

所以 Gromah 是参考了其他地方的博客的，比如：

这个博客