COGS 862. 二进制数01串【dp+经典二分+字符串】

862. 二进制数01串

★   输入文件：kimbits.in   输出文件：kimbits.out   简单对比
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USACO/kimbits(译 by !Starliu )

描述

考虑排好序的N(N<=31)位二进制数。

你会发现，这很有趣。因为他们是排列好的，而且包含所有可能的长度为N且含有1的个数小于等于L(L<=N)的数。

你的任务是输出第I（1<=I<=长度为N的二进制数的个数）大的，长度为N，且含有1的个数小于等于L的那个二进制数。

注意：这里“长度为N”包括长度小于N的数（我们认为高位用0补齐）

 

 

格式

PROGRAM NAME: kimbits

INPUT FORMAT:(file kimbits.in)

 

共一行，用空格分开的三个整数N，L，I。

OUTPUT FORMAT:(file kimbits.out)

共一行，输出满足条件的第I大的二进制数。

SAMPLE INPUT

(file kimbits.in)

5 3 19

 

SAMPLE OUTPUT

(file kimbits.out)

10011

 

题目链接：http://cogs.cf/cogs/problem/problem.php?pid=862

分析：这道题很难，构思巧妙,先用dp求出所要求dp[i,j]前i位1的个数不大于j的方案数，然后便是printf了。

先讲一下如何计算dp[i,j]。

dp[i,j]表示前i位，1的个数不大于j的方案数。

显然：dp[i,j]=dp[i-1,j]+dp[i-1,j-1];

dp[i-1,j]表示当前第i位以0开头所得到的方案数,dp[i-1,j-1]表示当前第i位以1开头得到的方案数。

如何根据得到的dp[i,j]来printf呢？如果当前我要确定第i位，那么肯定要看dp[i-1]集合中的值判断，例如我当前确定第5位，前4位不超过3个1的方案数为15，而我现在要求第19位，则第5为1，因为19>15，为什么呢？因为第5位可能为0,1，而为0的占了15个，为1的开头也是占15个，显然19属于为1开头的数，所以输出1，输出1的同时还要更新数据即可。输出0就什么也不用更新。

更新数据是指：当前第19位要减去15，3个1要变为2个1，以更新完的数据去得到第i+1个数才能是正确的。二分对每一位判断当改位是0的时候的有多少个符合条件的数就行了

貌似代码跑的飞起来，COGS上第一道排名NO.1的题，纪念一下！

下面给出AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn=+;
 typedef long long ll;
 ll dp[maxn][maxn],n,o=;
 ll C(ll a,ll b)
 {
     if(a==)
         return ;
     if(dp[a][b]!=-)
         return dp[a][b];
     return a==?b:dp[a][b]=(C(a-,b)*(b-a+))/a;
 }
 ll total(ll num,ll len,ll maxo)
 {
     ll cnt=;
     len=n-len-;
     for(ll i=;(i+o)<=maxo;i++)
     {
         cnt+=C(i,len);
     }
     return cnt;
 }
 int main()
 {
     ll l,i,len;
     char ans[maxn];
     memset(dp,-,sizeof(dp));
     memset(ans,,sizeof(ans));
     freopen("kimbits.in","r",stdin);
     freopen("kimbits.out","w",stdout);
     cin>>n>>l>>i;
     for(len=;len<n;len++)
     {
         ll temp=total(,len,l);
         if(temp>=i)
             ans[len]=+'';
         else
         {
             ans[len]=+'';
             i=i-temp;
             o++;
         }
     }
     cout<<ans<<endl;
     return ;
 }