BST 解析 （二）height and deletion

前面一章介绍了BST的结构和一些简单的基本功能，例如：insert，findMin，nextLarger等等。这一节主要讲解一些BST的delete node操作还有BST的height的分析以及一些潜在的问题。即本节主要包括以下2个部分；

1，Analysis of deletion

2，Tree height analysis

一：Node deletion

delete node的过程是需要依靠前一章的知识，需要了解nextLarger的过程和含义。然后在此基础之上，我们可以将删除node分为以下几类：

1）node是BST的leaf，即left child和right child 都为NULL；

2）node含有left subtree，但是没有right subtree;

3) node 含有right subtree, 但是没有left subtree;

4) node 含有right subtree和left subtree;

那么这4中情况下，如何删除相应的node，有什么规定需要遵守呢？如何删除的呢？下面2图分别展示了如何在上面的4中情况下删除相应的node

前三种的情况都比较简单，可以直观的了解。第四中情况，即node包含左右2个subtree的时候，情况就比较复杂了，我在这把流程解释一遍。当node包含左右2个subtree的时候，首先第一步是找到这个node的nextLarger，第二步copy nextLarger的key到node，第三步删除这个nextLarger node。至此删除node的操作结束。其具体的实现代码如下：（每个人的实现过程可能都不一样，仅供参考学习交流）

/*
 *Description: search the node's parent node
 *
 *parameters:
 1. key //the value which we want to find within the BST
 2. node//the node which we want to find out who is its parent node
 *
 *return Node
 *
 */
Node *BST::searchParent(int key, Node *node){

    if (this->root == NULL) {//the BST has not initialzed yet

        return NULL;

    }else{

        if (node==NULL) {//we have found all the nodes, but no one matches, which means it is not within the BST

            return NULL;

        }else if (key == node->getRight()->getKey()||key == node->getLeft()->getKey()) {//we spot on the key, return the node

            return node;

        }else if (key < node->getKey()){//the key is smaller than the node, so it is must be in the left subtree.

            return searchParent(key, node->getLeft());

        }else{// the key is bigger than the node, so it is must be in the right subtree.

            return searchParent(key, node->getRight());

        }
    }
}

/*
 *Description: delete a node from BST
 *
 *
 *parameter:
 *          1: key//the key that you want to delete
 *
 *          2：node //the node that we need to delete
 *return void
 *
 */
void BST::deleteNode(int key, Node *node){

    Node *parentNode;
    if (node != this->root) {//node is not the root of the BST

        parentNode = searchParent(node->getKey(), this->root);

    }else{//the node is the root of BST

        parentNode = NULL;
    }

    if (node->getLeft() == nullptr && node->getRight() == nullptr) {//The node has not got any leaf

        if (parentNode->getKey()>node->getKey()) {

            parentNode->setLeft(NULL);
        }else{

            parentNode->setRight(NULL);
        }

        delete(node);
        node = NULL;

    }else if (node->getRight() == nullptr){//has left tree

        if (parentNode->getKey()>node->getKey()) {

            parentNode->setLeft(node->getLeft());
        }else{

            parentNode->setRight(node->getLeft());
        }

        delete node;
        node= NULL;

    }else if(node->getLeft() == nullptr){//has right tree

        if (parentNode->getKey()>node->getKey()) {

            parentNode->setLeft(node->getRight());
        }else{

            parentNode->setRight(node->getRight());
        }

        delete node;
        node = NULL;

    }else{//has two subtrees

        Node *nextLargerNode = findNextLarger(node);

        int keyValue = nextLargerNode->getKey();

        deleteNode(nextLargerNode->getKey(),nextLargerNode);

        node->setKey(keyValue);

    }

}

二：BST height 分析

根据前面几节的分析，BST 的insert， nextLarger，search，delete的running time = O (h). 那么具体这个h是多少呢？它跟node 的数量有什么关系呢？根据现在所掌握的知识，一个随机任意的BST的h跟node的数量并没有具体的函数关系，但是我们至少可以知道h的范围是多少，即lgN<=h<=N。其原因如下图所示：

根据上图的实例和分析，我们可以很清晰的分辨出h的范围，所以对于一个不加处理随机的BST，它的时间复杂度是：O(lgN)<=running time<=O(N); 很显然我们只希望要lgN, 而不是线性的N; 因为如果是O（N）的话，BST的有些操作甚至效果不过Heap. 上图左边的视图是一个perfectly balanced的BST，它的时间复杂度是O（lgN），这正式我们想要的。上面的右图则是一个完全不平衡的BST，其时间复杂度=O（N），这种情况是我们应该避免的。 所以接下来的问题就是如何判断一个BST是不是平衡的, 如果不是平衡的，我们应该如何将不平衡的BST转化成平衡的BST。那么下一节我将介绍BST的rotation，平衡和AVL Tree。谢谢