POJ-1459 Power Network（最大流）

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题解转载自：優YoU http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1299339754

解题思路

多源多汇最大流问题

题目给出很多都是废话，特别是符号s(u)，d(u)，Con还有那条公式都别管，混淆视听

难点在于构图

电站p(u)均为源点，用户c(u)均为汇点，中转站当普通点处理

第一个误区是例图， 结点 和 边 都有x/y（流量和容量），这个很容易使人产生矛盾（因为学习最大流问题是，只有 边 才有流量和容量。

但是不难发现，题目所给的例图中有多个源点，多个汇点，多个普通点，只有源点和汇点才标有 x/y，普通点没有标x/y，而且所给出的所有边都有x/y。 这无疑在促使我们对图做一个变形： 建议一个超级源s，一个超级汇t，使s指向所有源点，并把源点的 容量y 分别作为这些边的 容量，使所有汇点指向t，并把汇点的容量y分别作为这些边的 容量，然后本来是源点和汇点的点，全部变为普通点。这样就把“多源多汇最大流”变形为“单源单汇最大流”问题。

第二个误区就是流量值。 学习最大流问题时，会发现边上的流量值是给定初始值的，但是这题的输入只有容量，没有流量，很多人马上感觉到无从入手。其实边上的流量初始值为多少都没有所谓，解最大流需要用到的只有容量。但是一般为了方便起见， 会把所有边的流量初始化为0。这样做有一个最大的好处，就是可以回避 反向弧 的存在，这个下面详细叙述。

本题中要注意的是：

1、  如果输入中，某一点上有环，就无视掉。环是否存在不影响最终结果。

2、  一般两点之间都是单边，一旦存在双边也没有问题，因为由定义知两个方向的容量一定相等（其实不相等也无妨，因为其中有一条为 反向弧，前面已经提到 反向弧 是可以直接回避、无视的，因此反向弧上的容量为多少就不重要了），而且在寻找增广路的标号过程中，搜索的是未标号的点，就是说(u,v)这条弧即使是双向的，但一旦从u到达v后，就不能回头了，因为两者都被标记了，即另外一条弧就不起任何作用了。

下面详细说说为什么能够回避反向弧。

首先需要明确，任意一个点j上记录的信息有：

1、  寻找增光路时，除超级源s外，增广路上任一点j都有一个唯一的前驱i（i被记录在j）

2、  min{从i到j的容流差,l(vi)}

3、  构图时，除超级汇t外，图上任一点j都会直接指向一些点(这些点作为后继点，同在记录在j)

从这个特点可以知道，从超级源开始寻找增广路时，万一遇到双向边，正向弧，反向弧自动被回避。万一遇到单向边，如果是非饱和正向弧，就会继续走下去；如果是反向弧，这条弧必然是 零弧（每条边初始化流量均为0），定义知如果增广路有反向弧，它必须要是非零弧，而且由于反向弧每次都不会经过，所以在改进增广路时反向弧上的流量也不会被改变，永远为0，也就与最终结果无关了

最后当无法寻找增广路时，最大流就是与超级源s直接关联的边上的 流量之和

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include <sstream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#include <string>
#define MP make_pair
#define ll long long
#define CLR(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
const ll mod=;
using namespace std;
const double eps=1e-;
const int MAXN=;
const int INF=0x3f3f3f3f;

int maze[MAXN][MAXN];
int gap[MAXN],dis[MAXN],pre[MAXN],cur[MAXN];

int sap(int st,int ed,int nodenum) {
    memset(cur,,sizeof(cur));
    memset(dis,,sizeof(dis));
    memset(gap,,sizeof(gap));
    int u=pre[st]=st,maxflow=,aug=-;
    gap[]=nodenum;
    while(dis[st]<nodenum) {
        loop:
        for(int v=cur[u]; v<nodenum; v++) {
            if(maze[u][v]&& dis[u]==dis[v]+) {
                if(aug==-||aug>maze[u][v]) aug=maze[u][v];
                pre[v]=u;
                u=cur[u]=v;
                if(v==ed) {
                    maxflow+=aug;
                    for(u=pre[u]; v!=st; v=u,u=pre[u]) {
                        maze[u][v]-=aug;
                        maze[v][u]+=aug;
                    }
                    aug=-;
                }
                goto loop;
            }
        }
        int mindis=nodenum-;
        for(int v=; v<nodenum; v++) {
            if(maze[u][v]&&mindis>dis[v]) {
                cur[u]=v;
                mindis=dis[v];
            }
        }
        if((--gap[dis[u]])==) break;
        gap[dis[u]=mindis+]++;
        u=pre[u];
    }
    return maxflow;
}

int main() {
    int n,np,nc,m;
    int u,v,w;
    while(cin>>n>>np>>nc>>m) {
        int s=n,t=n+;
        char ch;
        memset(maze,,sizeof(maze));
        for(int i=; i<m; i++) {
            while(cin>>ch,ch!='(');
            cin>>u>>ch>>v>>ch>>w;
            maze[u][v]=w;
        }
        for(int i=; i<np; i++) {
            while(cin>>ch,ch!='(');
            cin>>u>>ch>>w;
            maze[s][u]=w;
        }
        for(int i=; i<nc; i++) {
            while(cin>>ch,ch!='(');
            cin>>u>>ch>>w;
            maze[u][t]=w;
        }
        cout<<sap(n,n+,n+)<<endl;
    }

    return ;
}