【LOJ】#2568. 「APIO2016」烟花表演

题解

这个听起来很毒瘤的想法写起来却非常休闲，理解起来可能很费劲

例如，我们首先到猜到答案是个下凸包

然后是不是要三分？？？然而并不是orz

我们通过归纳证明这个下凸包的结论来总结出了一个算法

也就是对于每个子树是一个凸包，我们进行两种操作，一种操作是我给这个子树加了一个父亲边

另一种操作是对所有儿子合并这个凸包

容易发现这两种操作都不会影响答案的下凸性

我们考虑操作1

凸包最小值有一段区间是\([L,R]\)

分类讨论加一条边的情况

\(f(x) = f(x) + w (x <= L)\)也就是在\(L\)之前的要想达到必须全删掉新加的边才是最优的

\(f(x) = f(L) + w - (x - L) (L <= x <= L + w)\)直接从L转移即可

\(f(x) = f(L)(L + w <= x <= R + w)\) 直接平移就是最优的了

\(f(x) = f(R) + w + (x - R)\)从\(R\)转移即可

事实上，这是给凸包下面扯开，加了-1，0,1的三段

由此可一归纳出来，这个凸包斜率变化范围不是很大，自底向上是

-1,0,1和-1,0,1两个卷积

然后依次变大

事实上只要维护每次多的两个拐点就可以，给拐点排序后，删掉斜率为正的部分，最后从最靠上的部分开始往下减

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pii pair<int,int>
#define pdi pair<db,int>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define enter putchar('\n')
#define space putchar(' ')
#define eps 1e-8
#define mo 974711
#define MAXN 300005
//#define ivorysi
using namespace std;
typedef long long int64;
typedef double db;
template<class T>
void read(T &res) {
    res = 0;char c = getchar();T f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {
	if(c == '-') f = -1;
	c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
	res = res * 10 + c - '0';
	c = getchar();
    }
    res *= f;
}
template<class T>
void out(T x) {
    if(x < 0) {x = -x;putchar('-');}
    if(x >= 10) {
	out(x / 10);
    }
    putchar('0' + x % 10);
}
int N,M;
int fa[MAXN],C[MAXN],d[MAXN];
int64 sum,p[MAXN * 2];
struct node {
    int lc,rc,dis;
    int64 v;
}tr[MAXN * 2];
int tot,rt[MAXN],cnt;
int Merge(int x,int y) {
    if(!x) return y;
    if(!y) return x;
    if(tr[x].v < tr[y].v) swap(x,y);
    tr[x].rc = Merge(tr[x].rc,y);
    if(tr[tr[x].rc].dis > tr[tr[x].lc].dis) swap(tr[x].lc,tr[x].rc);
    tr[x].dis = tr[tr[x].lc].dis + 1;
    return x;
}
int upt(int x) {return Merge(tr[x].lc,tr[x].rc);}
int main() {
#ifdef ivorysi
    freopen("f1.in","r",stdin);
#endif
    read(N);read(M);
    for(int i = 2 ; i <= N + M ; ++i) {
	read(fa[i]);read(C[i]);
	d[fa[i]]++;
	sum += C[i];
    }
    for(int i = N + M ; i > 1 ; --i) {
	int64 l = 0,r = 0;
	if(i <= N) {
	    for(int j = 1 ; j < d[i] ; ++j) rt[i] = upt(rt[i]);
	    l = tr[rt[i]].v;rt[i] = upt(rt[i]);
	    r = tr[rt[i]].v;rt[i] = upt(rt[i]);
	}
	l += C[i];r += C[i];
	tr[++tot].v = l;tr[++tot].v = r;
	rt[i] = Merge(rt[i],Merge(tot,tot - 1));
	rt[fa[i]] = Merge(rt[fa[i]],rt[i]);
    }
    for(int j = 1 ; j <= d[1]; ++j) rt[1] = upt(rt[1]);
    while(rt[1]) {
	p[++cnt] = tr[rt[1]].v;
	rt[1] = upt(rt[1]);
    }

    for(int i = cnt ; i >= 1 ; --i) {
	sum -= p[i];
    }
    out(sum);enter;
}