2019.02.09 codeforces gym 100548F. Color（容斥原理）

传送门

题意简述：对n个排成一排的物品涂色，有m种颜色可选。

要求相邻的物品颜色不相同，且总共恰好有K种颜色，问所有可行的方案数。（n,m≤1e9,k≤1e6n,m\le1e9,k\le1e6n,m≤1e9,k≤1e6）

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思路：

容斥原理套路：

先不考虑是否选全kkk种颜色，方案数为Cmk∗k∗(k−1)n−1C_m^k*k*(k-1)^{n-1}Cmk​∗k∗(k−1)n−1。

然后枚举剩下的至少有几种颜色没选来容斥掉非法情况：

于是Ans=Cmk∑i=k1(−1)k−iCkii(i−1)n−1Ans=C_m^k\sum_{i=k}^1(-1)^{k-i}C_k^ii(i-1)^{n-1}Ans=Cmk​∑i=k1​(−1)k−iCki​i(i−1)n−1

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int N=1e6+5,mod=1e9+7;
typedef long long ll;
inline int read(){
	int ans=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))ch=getchar();
	while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return ans;
}
inline int add(const int&a,const int&b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(const int&a,const int&b){return a>=b?a-b:a-b+mod;}
inline int mul(const int&a,const int&b){return (ll)a*b%mod;}
inline int ksm(int a,int p){int ret=1;for(;p;p>>=1,a=mul(a,a))if(p&1)ret=mul(ret,a);return ret;}
int n,m,k,C[N],inv[N],mult;
inline void init(){
	inv[1]=1;
	for(ri i=2;i<=1000000;++i)inv[i]=mul(inv[mod-mod/i*i],mod-mod/i);
}
inline void Init(){
	C[0]=1,mult=1;
	for(ri i=1;i<=k;++i)C[i]=mul(mul(C[i-1],k-i+1),inv[i]);
	for(ri i=1;i<=k;++i)mult=mul(mult,mul(m-i+1,inv[i]));
}
int main(){
	init();
	for(ri ans,tt=1,up=read();tt<=up;++tt){
		n=read(),m=read(),k=read(),ans=0;
		Init();
		for(ri i=k,tmp;i;--i){
			tmp=mul(C[i],mul(i,ksm(i-1,n-1)));
			ans=(k-i)&1?dec(ans,tmp):add(ans,tmp);
		}
		cout<<"Case #"<<tt<<": "<<mul(mult,ans)<<'\n';
	}
	return 0;
}