[IOI2000] 邮局

## 非常神仙的 wqs 二分优化dp，又学了一招。

首先我们需要先想到一个人类智慧版的前缀和优化。

# part 1：violence

然鹅在前缀和优化之前我们先考虑暴力做法：
我们可以枚举 i 、 j 令其表示前 i 个村庄设立 j 个邮局的最小贡献。
然后枚举 k 表示前 k 个村庄已经设立邮局，现在处理 k+1~i 的村庄。
接着再枚举当前邮局设立在哪里，然后 O(n) 累加每个村庄的贡献。
这样的复杂度是 O(n^5) 的，也许达不到这个上限，但是 O(n^4) 的时间总是要的。
于是这样...已经炸掉了。

# part 2：optimization(human wisdom)

我们考虑在一段区间内建立一个邮局，那么这个邮局会使得附近村庄的贡献降低。
那么如何使得这个降低的贡献最大呢？我们可以由 **~~人类智慧~~ 推论** 得出：
当我们将邮局设立在一个要产生贡献的区间的中点时，降低的贡献最大。
那么这时我们不妨设区间中点坐标为 k ，左端点坐标 i ，右端点坐标 j 。
此时这段区间对答案的贡献为：# $$(S[j]-S[k])-a[k] \times (j-k) + a[k] \times (k-i)-(S[k]-S[i])$$ #

那么这样的复杂度是 O(n^3) 的，已经有了较大进步，起码30分是到手了。

# part 3：optimization(Quadrilateral inequality)

于是我们考虑进一步优化，看到  满数据 是 3e3 的数据范围，那么应该是要用 O(n^2) 的算法。
那这里就要用 四边形不等式优化了（我不会）。同学们可以自行研究，大概就是根据 f[i][j] 的一个性质：
f[i][j]+f[i-1][j+1]>f[i-1][j]+f[i][j+1] => f[i][j] 的决策点在 f[i-1][j] 和 f[i][j+1] 之间之类的。
（怎么证我就母鸡了）

于是 O(n^2) 满分。

# part4：optimization(wqs binary cut)

然鹅我们还可以考虑进一步升华算法。

我们可以考虑二分将算法复杂度优化成 O(nlogn)

而且是 wqs 二分。

如何二分？ 我们考虑给区间的每次分割增加一个贡献。
那么我们可以看出：增加贡献越大，将会分割的次数就越少。
容易想到，当分割出的段数恰好为 m 时，该状态下的 f[n] 减去增加贡献就是答案。
这样一个 log 去了。 那么怎么 O(n) 转移方程？
我们用单调队列优化转移，单调队列内每个点记录上次转移位置以及其控制的后方最优解范围。

也就是说，最后一种算法是用了二分优化 part3 ，将一个 n 变成了 log 。

# part 5：coding(s)

$$ O(n^3) $$

 //by Judge
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 const int M=;
 #ifndef Judge
 #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 #endif
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     int x=,f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-;
     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*+c-''; return x*f;
 } int n,m,a[M],s[M],f[M][M];
 inline void cmin(int& a,int b){ if(a>b) a=b; }
 int main(){
     n=read(),m=read(),memset(f,0x3f,sizeof(f)),f[][]=;
     for(int i=;i<=n;++i) a[i]=read(); std::sort(a+,a++n);
     for(int i=;i<=n;++i) s[i]=s[i-]+a[i];
     for(int i=;i<=n;++i) for(int j=;j<=m;++j) for(int k=,t;k<i;++k)
         t=i+k+>>,cmin(f[i][j],f[k][j-]+(s[i]-s[t])-a[t]*(i-t)+a[t]*(t-k)-(s[t]-s[k]));
     return printf("%d\n",f[n][m]),;
 }

n^3

$$ O(n^2) $$

 //by Judge
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define ll long long
 const int M=;
 #ifndef Judge
 #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 #endif
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     int x=,f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-;
     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*+c-''; return x*f;
 } int n,m,a[M],mk[M][M]; ll f[M][M],w[M][M];
 int main(){
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=n;++i) a[i]=read(); std::sort(a+,a++n);
     for(int i=;i<=n;++i) for(int j=i+;j<=n;++j)
         w[i][j]=w[i][j-]+a[j]-a[i+j>>];
     for(int i=;i<=n;++i) f[][i]=w[][i],mk[][i]=;
     for(int i=;i<=m;++i){ mk[i][n+]=n;
         for(int j=n;j>i;--j){
             f[i][j]=1ll<<;
             for(int k=mk[i-][j];k<=mk[i][j+];++k)
                 if(f[i][j]>f[i-][k]+w[k+][j])
                 f[i][j]=f[i-][k]+w[k+][j],mk[i][j]=k;
         }
     } return printf("%lld\n",f[m][n]),;
 }

n^2

$$ O(n logn) $$

 //by Judge
 #include<algorithm>
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #define mid (l+r>>1)
 #define ll long long
 using namespace std;
 const int M=1e5+;
 const ll inf=1e18+;
 #ifndef Judge
 #define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 #endif
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 inline int read(){
     int x=,f=; char c=getchar();
     for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-;
     for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*+c-''; return x*f;
 } int n,m,las[M]; ll a[M],S[M],f[M];
 struct node{ int pos,l,r;  // l~r 为 pos 点所控制的最优区间
     node(int pos,int l,int r):pos(pos),l(l),r(r){} node(){}
 }Q[M];
 inline ll calc(int l,int r,int tim){
     if(l>=r) return inf; int t=l+r+>>; //人类智慧+前缀和优化
     return f[l]+(S[r]-S[t])-(r-t)*a[t]+(t-l)*a[t]-(S[t]-S[l])+tim;
 } inline bool check(int tim){
     int siz=,ans=; Q[]=node(,,n);
     for(int i=;i<=n;++i){ int l=,r=siz,pos;
         while(l<=r) Q[mid].l<=i?l=(pos=mid)+:r=mid-;
         f[i]=calc(Q[pos].pos,i,tim),las[i]=Q[pos].pos,pos=n+;
         while(siz&&calc(Q[siz].pos,Q[siz].l,tim)>=calc(i,Q[siz].l,tim)) pos=Q[siz--].l;
         if(siz && calc(Q[siz].pos,Q[siz].r,tim)>=calc(i,Q[siz].r,tim)){ l=Q[siz].l,r=Q[siz].r;
             while(l<=r) calc(Q[siz].pos,mid,tim)>=calc(i,mid,tim)?r=(pos=mid)-:l=mid+;
             Q[siz].r=pos-;
         } if(pos!=n+) Q[++siz]=node(i,pos,n);
     } for(int i=n;i;i=las[i]) ++ans; return ans<m;
 }
 int main(){
     n=read(),m=read();
     for(int i=;i<=n;++i) a[i]=read();
     sort(a+,a++n);
     for(int i=;i<=n;++i) S[i]=S[i-]+a[i];
     int l=,r=5e6; ll ans=;
     while(l<=r) check(mid)?r=mid-:(ans=f[n]-m*mid,l=mid+);
     return printf("%lld\n",ans),;
 }

n log n