HNOI2017 抛硬币 (FakeBeng)

除了队长快跑外最难的题吧。

除了需要写\(exLucas\)之外,还教会了我大量的卡常技巧。

首先\(70\)分就是个直接按题意模拟，易得\(ans=\sum_{j=0}^{b} C_{b}^{j}\sum_{i=j+1}^{a}C_{a}^{i}\),把后面的求和用后缀和优化一下，外加\(exLucas\)和大力卡常应该可以拿到这档分。

考虑满分做法，首先对于\(a=b\)的，显然每一种胜利局面取反后一定是一种失败局面，当然还有平局。

我们考虑用总情况减去平局除以二。

如何计算平局，显然有\(sum=\sum_{i=0}^{a}C_{a}^{i}*C_{b}^{i}\),因为\(a=b\)，所以这式子等于\(C_{2a}^{a}\)，证明很显然。

所以当\(a=b\)时,\(ans=\frac{2^{a+b}-C_{2a}^{a}}{2}\)。

现在考虑\(a>b\)的情况，显然每个失败状态和平局取反后一定是必胜的，但是有些胜利状态取反后还是胜利的。我们考虑计算这一部分。

我们假设小\(A\)抛了\(W_A\)次正面，小\(B\)抛了\(W_B\)次正面，那么在该情况下有\(W_A>W_B\)，那么\(a-W_A>b-W_B\),得\(a-b>W_A-W_b>0\),枚举\(W_A-W_B\),有\(\sum_{i=1}^{a-b-1}\sum_{j=0}^{b}C_{b}^{j}C_{a}^{i+j}\),转换一下得\(\sum_{i=1}^{a-b-1}\sum_{j=0}^{b}C_{b}^{b-j}C_{a}^{i+j}\) ,因为\(b-j+i+j=b+i\),所以\(\sum_{i=1}^{a-b-1}C_{a+b}^{b+i}\)，然后就可以算了。\(ans=\frac{2^{a+b}+\sum_{i=1}^{a-b-1}C_{a+b}^{b+i}}{2}\) 。然后你就可以算了，还有个卡常，就是这个组合数是对称的，我们可以只算一半。