我的第一篇博客----LCS学习笔记

LCS引论

在这篇博文中，博主要给大家讲一个算法----最长公共子序列（LCS）算法。我最初接触这个算法是在高中学信息学竞赛的时候。那时候花了好长时间理解这个算法。老师经常说，这种算法是母算法，即从这种算法中能衍生出许许多多的子算法。是的，博主在大二的算法导论考试中，就被LCS衍生的子算法“坑”了。当时一道动态规划题目，大概是要写一列书中放置书架的问题。博主联想到了LCS，但是最后还是只是用暴力求解法解出了那道题目，甚是遗憾。在这里，我也对此算法做一个详解。

优化子结构

首先，我们来看优化子结构：

设X=(x 1 , ..., x m ) 、Y=(y 1 , ..., y n )  是两个序列，Z=(z 1 , ..., z k ) 是X 与Y 的LCS ，我们有：

⑴     如果x_m =y_n,  则z_k =x_m = y_n , Z_k-1 是X_m-1 和Y_n-1 的LCS ， 即 ：

LCS _XY  = LCS _{X m-1 Y n-1} + <x_m =y_n >.

⑵     如果x_m ≠ y_n ， 且z_k≠ x_m ， 则Z 是X _m-1 和Y 的

LCS ， 即  LCS _XY = LCS _{X m-1 Y}

⑶     如果x_m ≠ y_n ，且z_k≠ y_n ，则Z 是X 与Y n-1 的LCS ，即 ：

LCS _XY = LCS _{XY n-1}

构造C[m,n]数组表示x_m 、y_n 的LCS长度，因此，求得X和Y的优化解结构的递归方程为：

C[i, j] = 0 if i=0  或 j=0

C[i, j] = C[i-1, j-1] + 1 if i, j>0  且 x _i  = y _j

C[i, j] = Max(C[i, j-1], C[i-1, j]) if i, j>0  且 x _i ≠ y _j

在存储LCS的时候，我们根据已经构造好的B[m,n]来寻找全部的LCS。

如果B[m,n]=0，说明X和Y当前比对的字符相同，因此我们把X和Y都向前一个字符，再进行比对。

如果B[m,n]=1，说明x_m ≠ y_n ， 且z_k≠ x_m ，此时我们只用把X向前移一位，再进行比对。

如果B[m,n]=3，说明x_m ≠ y_n ，且z_k≠ y_n，此时我们需要把Y向前移动一位，再进行比对。

如果B[m,n]=2，说明c[i - 1][j] = c[i][j - 1]，我们需要将两个字符串依次向前移动一位，进行比对

关键的数据结构及简单说明

C[m,n]: C[i,j] 是X _i 与Y _j 的LCS 的长度；

B[m,n]: B[i,j] 是指针 ，指向计算C[i,j] 时所选择的子问题的优化解所对应的C 表的表项。通俗的说，B[m,n]记录的是轨迹；

public static String[] Log：存储全部LCS字符串；

public static char[] lcs：字符数组，存储

TreeSet<String> tree = new TreeSet<String>()：将LCS数组存入Tree集合中，供打印使用。

示例程序

 package test;

import java.util.Scanner;

import java.util.TreeSet;

public class LCS {

public static StringBuffer X;

public static StringBuffer Y;

public static int m;

public static int n;

public static int len;

public static int[][] b;

public static int[][] c;

public static String[] Log;

public static char[] lcs;

public final static int MAX = 100;

public static int boardlen;

public static void main(String[] args) {

Log = new String[MAX];

LCS lcs = new LCS();

Scanner in = new Scanner(System.in);

System.out.println("string X:");

X = new StringBuffer(in.next());

System.out.println("string Y:");

Y = new StringBuffer(in.next());

lcs_length();

System.out.println("LCS:");

store_lcs(m, n, len);

PrintLCS();

X.setLength(0);

Y.setLength(0);

in.close();

}

public static void lcs_length() {

m = X.length();

n = Y.length();

lcs = new char[m + 1];

boardlen = 0;

c = new int[m + 1][n + 1];

b = new int[m + 1][n + 1];

for (int i = 1; i <= m; i++)

c[i][0] = 0;

for (int j = 0; j <= n; j++)

c[0][j] = 0;

for (int i = 1; i <= m; i++){

for (int j = 1; j <= n; j++) {

if (X.charAt(i - 1) == Y.charAt(j - 1)) {

c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;

b[i][j] = 0;

} else if (c[i - 1][j] > c[i][j - 1]) {

c[i][j] = c[i - 1][j];

b[i][j] = 1;

} else if (c[i - 1][j] == c[i][j - 1]) {

c[i][j] = c[i - 1][j];

b[i][j] = 2;

} else {

c[i][j] = c[i][j - 1];

b[i][j] = 3;

}

}

}

len = c[m][n];

}

public static void store_lcs(int m, int n, int Len) {

if (m == 0 || n == 0) {

Log[boardlen] = new String(lcs);

boardlen++;

} else {

if (b[m][n] == 0) {

lcs[Len] = X.charAt(m - 1);

Len--;

store_lcs(m - 1, n - 1, Len);

} else if (b[m][n] == 3) {

store_lcs(m, n - 1, Len);

} else if (b[m][n] == 1) {

store_lcs(m - 1, n, Len);

} else {

store_lcs(m, n - 1, Len);

store_lcs(m - 1, n, Len);

}

}

}

public static void PrintLCS() {

TreeSet<String> tree = new TreeSet<String>();

for (int i = 0; i <boardlen; i++) {

tree.add(Log[i]);

}

String[] string = new String[tree.size()];

for (int i = 0; i < string.length; i++) {

string[i] = tree.pollFirst();

System.out.println(string[i]);

}

}

public void printit() {

for (int i = 0; i < Log.length; i++) {

if (Log[i] != null) {

System.out.println(Log[i]);

}

}

}

}

后序

程序经本人测试，能够运行出正确结果。以上仅供大家学习交流，转载请注明出处。