Luogu4640 BJWC2008 王之财宝 容斥、Lucas

传送门

题意：有$N$种物品，其中$T$个物品有限定数量$B_i$，其他则没有限定。问从中取出不超过$M$个物品的方案数，对质数$P$取模。$N,M \leq 10^9 , T \leq 15 , P \leq 10^5$

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在$N$种物品中选出不超过$M$种物品的方案数可以用插板法（插板法只能满足刚好$M$个，那么我们可以虚构出一个数量无限的物品，把剩下的没选择完的都丢给它，这样插板法就能做了）

发现$T$很小，直接容斥。$N,M \leq 10^9$不能直接预处理，考虑到$P$为质数且范围较小，可以使用$Lucas$

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 inline int read(){
     ;
     ;
     char c = getchar();
     while(c != EOF && !isdigit(c)){
         if(c == '-')
             f = ;
         c = getchar();
     }
     while(c != EOF && isdigit(c)){
         a = (a << ) + (a << ) + (c ^ ');
         c = getchar();
     }
     return f ? -a : a;
 }

 ;
 ] , ny[MAXN + ] , B[] , ans;

 inline int poww(long long a , int b){
     ;
     while(b){
         )
             times = times * a % Q;
         a = a * a % Q;
         b >>= ;
     }
     return times;
 }

 inline int C(int N , int M){
      || M <  || N < M)
         ;
     return 1ll * jc[N] * ny[M] % Q * ny[N - M] % Q;
 }

 int lucas(int N , int M){
     )
         ;
     return 1ll * C(N % Q , M % Q) * lucas(N / Q , M / Q) % Q;
 }

 void choose(int now , int num , int cnt){
     )
         return;
     if(now > M)
         ans = (ans + (cnt &  ? -1ll : 1ll) * lucas(num + N , N) + Q) % Q;
     else{
         choose(now +  , num , cnt);
         choose(now +  , num - B[now] -  , cnt + );
     }
 }        

 int main(){
 #ifdef LG
     freopen("4640.in" , "r" , stdin);
 #endif
     N = read();
     M = read();
     P = read();
     Q = read();
     jc[] = ny[] = ;
      ; i < Q ; i++)
         jc[i] = jc[i - ] * i % Q;
     ny[Q - ] = poww(jc[Q - ] , Q - );
      ; i ; i--)
         ny[i] = ny[i + ] * (i + ) % Q;
      ; i <= M ; i++)
         B[i] = read();
     choose( , P , );
     cout << ans;
     ;
 }