[HAOI2015]树上染色

Description:

有一棵点数为 N 的树，树边有边权。给你一个在 0~ N 之内的正整数 K ，你要在这棵树中选择 K个点，将其染成黑色，并将其他 的N-K个点染成白色 。 将所有点染色后，你会获得黑点两两之间的距离加上白点两两之间的距离的和的受益。问受益最大值是多少。

Hint:

\(n \le 2^3\)

Solution:

很好的树型dp题

设状态\(f[i][j]\)表示i点子树染j个黑点的最大距离和

然而无法转移

换一种角度,考虑每条边对答案的贡献

设一条边的下面一端u的子树中有k个黑点

则\(Ans=k*(m-k)+(sz[u]-k)*(n-sz[u]-m+k)\)

这样就能用树型背包做了

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e5+5;
int n,m,cnt,hd[mxn],sz[mxn];
ll f[2005][2005];

inline int read() {
    char c=getchar(); int x=0,f=1;
    while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    return x*f;
}
inline void chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
    int to,nxt,w;
}t[mxn<<1];

inline void add(int u,int v,int w) {
    t[++cnt]=(ed) {v,hd[u],w}; hd[u]=cnt;
}

void dfs(int u,int fa)
{
    sz[u]=1; f[u][0]=f[u][1]=0;
    for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
        int v=t[i].to;
        if(v==fa) continue ;
        dfs(v,u); sz[u]+=sz[v];
        for(int j=min(m,sz[u]);j>=0;--j) {
            if(f[u][j]!=-1)
            f[u][j]+=f[v][0]+1ll*sz[v]*(n-m-sz[v])*t[i].w; //这里一定要先处理v为0的答案,如果在后面转移就会错
            for(int k=min(j,sz[v]);k;--k) {
                if(f[u][j-k]==-1) continue ;
                ll val=1ll*(k*(m-k)+(sz[v]-k)*(n-m-sz[v]+k))*t[i].w;
                f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[v][k]+val);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    memset(f,-1,sizeof(f));
    n=read(); m=read(); int u,v,w;
    for(int i=1;i<n;++i) {
        u=read(); v=read(); w=read();
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    dfs(1,1);
    printf("%lld",f[1][m]);
    return 0;
}