2-sat 学习笔记

一、问题描述

以你咕的模板题为例

题目描述

有\(n\)个布尔变量\(x_1\)~\(x_n\)，另有\(m\)个需要满足的条件，每个条件的形式都是“\(x_i\)为true/false或\(x_j\)为true/false”。

比如“\(x_1\)为真或\(x_3\)为假”、“\(x_7\)为假或\(x_2\)为假”。

2-SAT 问题的目标是给每个变量赋值使得所有条件得到满足。

二、逻辑关系

这里不用太过专业的符号来说明逻辑关系，仅仅是感性说明（没错就是我菜）

设条件为大写字母A,B，非A,非B只条件的另一种取值

A或者B 等价于 非A则B 和 非B则A

注意到后面两个要求似乎有蜜汁对称性，而且它们都是有向的

根据后一句话，我们借助并查集扩展域的思想，把一个点的两个取值拆开，进行建图

三、建图

这里就画图举例说明吧

给出这样三个条件\((1,1)\)或\((2,1)\),\((2,1)\)或\((3,1)\),\((2,0)\)或(3,1)$

\((x,y)\)表示\(x\)需要取值\(y\)

我们把点\(x\)取值\(0\)的点编号\(x\)，取值\(1\)的点编号\(x+n\)

我们可以建出如下的图

有向边\((u,v)\)表示如果\(u\)选，\(v\)一定选

很显然这是有解的，我们可以去\(1,2,3\)等点集

怎么样才会无解呢？

如果一个点的出边的点构成的集合中又出现了它自己？这样可以不选它而选另一个值啊

如果这个集合出现了另一个值呢？

好吧，这里的无解其实就是综合一下，选它的同时要选它的另一个值，选它的另一个值同时要选它

等价于两者在有向图中处于同一个环中

这样我们就可以通过tarjan求环来判断有解性了

四、构造合法方案

如果一个点没有伸出去的边，就代表它不约束别人，我们可以随便选择选或不选它

设\(cho[]\)，若\(cho[x]==0\)则代表我们选择了它，否则我们没有选择它

优先选择出度为0的点

我们可以在缩点后的图中反向建图，然后做拓扑排序

注意我们选择一个点后，要把它对应的点置不选

事实上，我们也可以没必要做这么麻烦

dfs遍历的DAG图的序列反过来其实就是反向建边的拓扑序

在tarjan中先做的点的编号就是反向建边拓扑序

那么我们直接比编号大小进行赋值就可以啦

五、参考代码

#include <cstdio>
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
const int N=2e6+10;
int head[N],to[N<<1],Next[N<<1],cnt,n,m;
void add(int u,int v)
{
    to[++cnt]=v;Next[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}
void init()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i,a,j,b,k=1;k<=m;k++)
    {
        scanf("%d%d%d%d",&i,&a,&j,&b);
        add(i+(1-a)*n,j+b*n),add(j+(1-b)*n,i+a*n);
    }
}
int dfn[N],low[N],in[N],s[N],ha[N],tot,dfs_clock,n_;
void tarjan(int now)
{
    dfn[now]=low[now]=++dfs_clock;
    s[++tot]=now;
    in[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=Next[i])
    {
        int v=to[i];
        if(!dfn[v])
        {
            tarjan(v);
            low[now]=min(low[now],low[v]);
        }
        else if(in[v])
            low[now]=min(low[now],dfn[v]);
    }
    if(low[now]==dfn[now])
    {
        int k;++n_;
        do
        {
            k=s[tot--];
            ha[k]=n_;
            in[k]=0;
        }while(k!=now);
    }
}
void work()
{
    for(int i=1;i<=n<<1;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(ha[i]==ha[i+n])
        {
            printf("IMPOSSIBLE\n");
            return;
        }
    printf("POSSIBLE\n");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        printf("%d ",ha[i]>ha[i+n]);
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}

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2018.9.1