BZOJ3064：CPU监控

浅谈区间最值操作和历史最值问题：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/10225100.html

题目传送门：https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3064

我直接用论文写法写的……论文题解如下：

刚接触这一类问题时，这个例题的难度可能较高，所以我们先忽略区间赋值操作。

考虑使用传统的懒标记来解决，首先如果只是询问区间最大值，只面要使用区间加减这一个懒标记（用\(add\)表示）就能解决。

现在考虑询问区间历史最大值的最大值。我们定义一种新的懒标记：历史最大的加减标记（用\(hisadd\)表示）。这个标记的定义是：从上一次把这个节点的标记下传的时刻到当前时刻这一时间段中，这个节点中的\(add\)标记值到达过的最大值。

现在考虑把第\(fa\)个节点的标记下传到它的儿子\(p\)，不难发现标记是可以合并的：

\(hisadd_p=max(hisadd_p,add_p+hisadd_{fa}),add_p+=add_{fa}\) 。

至于区间历史最大值信息的更新也与标记的合并类似，只面要将当前的区间最大值加上\(hisadd\)然后与原来的历史最大值进行比较即可。

现在回到原题，我们观察在修改操作过程中，被影响到的节点的变化：如果一个节点没有发生标记下传，那么最开始它一直被区间加减操作所影响，这时我们可以用上面描述的\(hisadd\)标记来记录，直到某一时刻，这个节点被区间覆盖标记影响，那么这时这个节点中的所有数都变得完全相同，再之后的所有区间加减修改，对这个节点来说，与区间覆盖操作并没有不同。

因此每一个节点受到的标记可以分成两个部分：第一个部分是区间加减，第二个部分是区间覆盖。因此我们可以用 \((hisadd,hiscov)\)来表示历史最值标记，它的定义是当前区间在第一阶段时最大的加减标记是\(hisadd\),在第二个阶段时最大的覆盖标记是\(hiscov\)。显然这个标记是可以进行合并与更新的。

到此我们就使用最传统的懒标记方法解决了这个问题。

时间复杂度：\(O((n+m)logn)\)

空间复杂度：\(O(n)\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1e5+5;

int n,m;
char s[20];
int a[maxn];

int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
	return x*f;
}

struct segment_tree {
	struct tree_node {
		bool bo1,bo2;
		int hismx,mx,hiscov,cov,hisadd,add;
	}tree[maxn<<2];

	void update(int p) {
		tree[p].mx=max(tree[p<<1].mx,tree[p<<1|1].mx);
		tree[p].hismx=max(tree[p<<1].hismx,tree[p<<1|1].hismx);
	}

	void build(int p,int l,int r) {
		if(l==r) {
			tree[p].mx=tree[p].hismx=a[l];
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(p<<1,l,mid);
		build(p<<1|1,mid+1,r);
		update(p);
	}

	void add_tag(int p,int v) {
		if(tree[p].bo2) {
			tree[p].cov+=v;
			tree[p].hiscov=max(tree[p].hiscov,tree[p].cov);
		}
		else {
			tree[p].add+=v;
			if(!tree[p].bo1)tree[p].hisadd=v,tree[p].bo1=1;
			else tree[p].hisadd=max(tree[p].hisadd,tree[p].add);
		}
		tree[p].mx+=v;
		tree[p].hismx=max(tree[p].hismx,tree[p].mx);
	}

	void cov_tag(int p,int v) {
		tree[p].cov=tree[p].mx=v;
		tree[p].hismx=max(tree[p].hismx,v);
		if(!tree[p].bo2)tree[p].hiscov=v,tree[p].bo2=1;
		else tree[p].hiscov=max(tree[p].hiscov,v);
	}

	void solve1(int p,int v,int hisv) {
		if(tree[p].bo2) {
			tree[p].hiscov=max(tree[p].hiscov,tree[p].cov+hisv);
			tree[p].cov+=v;
			tree[p].hismx=max(tree[p].hismx,tree[p].hiscov);
		}
		else {
			if(!tree[p].bo1)tree[p].bo1=1,tree[p].hisadd=hisv;
			else tree[p].hisadd=max(tree[p].hisadd,tree[p].add+hisv);
			tree[p].add+=v;
			tree[p].hismx=max(tree[p].hismx,tree[p].mx+hisv);
		}
		tree[p].mx+=v;
	}

	void solve2(int p,int v,int hisv) {
		if(!tree[p].bo2)tree[p].hiscov=hisv,tree[p].bo2=1;
		else tree[p].hiscov=max(tree[p].hiscov,hisv);
		tree[p].mx=tree[p].cov=v;
		tree[p].hismx=max(tree[p].hismx,tree[p].hiscov);
	}

	void push_down(int p) {
		if(tree[p].bo1) {
			solve1(p<<1,tree[p].add,tree[p].hisadd);
			solve1(p<<1|1,tree[p].add,tree[p].hisadd);
			tree[p].bo1=0,tree[p].add=0;
		}
		if(tree[p].bo2) {
			solve2(p<<1,tree[p].cov,tree[p].hiscov);
			solve2(p<<1|1,tree[p].cov,tree[p].hiscov);
			tree[p].bo2=0;
		}
	}

	void plus(int p,int l,int r,int L,int R,int v) {
		if(L<=l&&r<=R) {add_tag(p,v);return;}
		int mid=(l+r)>>1;push_down(p);
		if(L<=mid)plus(p<<1,l,mid,L,R,v);
		if(R>mid)plus(p<<1|1,mid+1,r,L,R,v);
		update(p);
	}

	void cover(int p,int l,int r,int L,int R,int v) {
		if(L<=l&&r<=R) {cov_tag(p,v);return;}
		int mid=(l+r)>>1;push_down(p);
		if(L<=mid)cover(p<<1,l,mid,L,R,v);
		if(R>mid)cover(p<<1|1,mid+1,r,L,R,v);
		update(p);
	}

	int queryMax(int p,int l,int r,int L,int R,int opt) {
		if(L<=l&&r<=R) {
			if(opt)return tree[p].mx;
			return tree[p].hismx;
		}
		int mid=(l+r)>>1,res=-2e9;push_down(p);
		if(L<=mid)res=queryMax(p<<1,l,mid,L,R,opt);
		if(R>mid)res=max(res,queryMax(p<<1|1,mid+1,r,L,R,opt));
		return res;
	}
}T;

int main() {
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	T.build(1,1,n);m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%s",s+1);
		int l=read(),r=read(),v=(s[1]!='Q'&&s[1]!='A'?read():0);
		if(s[1]=='P')T.plus(1,1,n,l,r,v);
		if(s[1]=='C')T.cover(1,1,n,l,r,v);
		if(s[1]=='Q')printf("%d\n",T.queryMax(1,1,n,l,r,1));
		if(s[1]=='A')printf("%d\n",T.queryMax(1,1,n,l,r,0));
	}
	return 0;
}