<Sicily>Tiling a Grid With Dominoes

一、题目描述

We wish to tile a grid 4 units high and N units long with rectangles (dominoes) 2 units by one unit (in either orientation). For example, the figure shows the five different ways that a grid 4 units high and 2 units wide may be tiled.



Write a program that takes as input the width, W , of the grid and outputs the number of different ways to tile a 4-by-W grid.

二、输入

The first line of input contains a single integer N , (1<=N<=1000) which is the number of datasets that follow.

Each dataset contains a single decimal integer, the width, W , of the grid for this problem instance.

三、输出

For each problem instance, there is one line of output: The problem instance number as a decimal integer (start counting at one), a single space and the number of tilings of a 4-by-W grid. The values of W will be chosen so the count will fit in a 32-bit integer.

例如

输入：

3

2

3

7

输出：

1 5

2 11

3 781

四、解题思路

1、问题分析

使用无数个1x2的多米诺骨牌去铺满4xn的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法。

这道题可以使用动态规划的方法解。

很明显当n等于1时，只有一种方法，也就是两个都是竖着放。

当n>2时，我们使用一个矩阵matrix[n][m]来表示排在第n列的情况。m表示每列的各格的状态，例如该题有4行，所以m表示的是4位只有0、1状态的数（0表示空，1表示排）。2^4=16，应该有16中状态，但是并不是每种状态都能成立。

状态转移：

matrix[i][0] = matrix[i - 1][15];
matrix[i][3] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][12];
matrix[i][6] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][9];
matrix[i][9] = matrix[i - 1][6];
matrix[i][12] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][3];
matrix[i][15] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][12] + matrix[i - 1][6] + matrix[i - 1][3] + matrix[i - 1][0];

初始状态：

matrix[1][0] = matrix[1][3] = matrix[1][6] = matrix[1][12] = matrix[1][15] = 1;

状态转移图（灰色表示不填充，橙色表示填充）

1）matrix[i - 1][15] 转移到 matrix[i][0]：

2）matrix[i - 1][15] 转移到matrix[i][3]：

3）matrix[i - 1][12] 转移到matrix[i][3]：

4）matrix[i - 1][15] 转移到matrix[i][6]：

5）matrix[i - 1][9] 转移到matrix[i][6]：

6）matrix[i - 1][6] 转移到matrix[i][9]：

7）matrix[i - 1][15] 转移到matrix[i][12]：

8）matrix[i - 1][3] 转移到matrix[i][12]：

9）matrix[i - 1][15] 转移到matrix[i][15]：

10）matrix[i - 1][12] 转移到matrix[i][15]：

11）matrix[i - 1][6] 转移到matrix[i][15]：

12）matrix[i - 1][3] 转移到matrix[i][15]：

13）matrix[i - 1][0] 转移到matrix[i][15]：

五、代码

#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int leng = 1000;
    int result;

    int printNum;

    int matrix[leng + 1][16];
    matrix[1][0] = matrix[1][3] = matrix[1][6] = matrix[1][12] = matrix[1][15] = 1;
    matrix[1][9] = 0;
    for(int i = 2; i < leng + 1; i++)
    {

        matrix[i][0] = matrix[i - 1][15];
        matrix[i][3] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][12];
        matrix[i][6] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][9];
        matrix[i][9] = matrix[i - 1][6];
        matrix[i][12] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][3];
        matrix[i][15] = matrix[i - 1][15] + matrix[i - 1][12] + matrix[i - 1][6] + matrix[i - 1][3] + matrix[i - 1][0];
    }

    cin >> printNum;

    for(int i = 1; i < printNum + 1; i++)
    {
        cin >> result;
        cout << i << " " << matrix[result][15] << endl;
    }
    return 0;
}

附：在别人的博客看到另外一种方法，操作起来更简单，但我看不懂（尤其是初始状态a0和b0为什么等于0）。能看懂的朋友，请给我讲解讲解。一下是他的博客http://blog.csdn.net/famousdt/article/details/7480103