Tarjan算法详解理解集合

【功能】

Tarjan算法的用途之一是，求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话，那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

【算法思想】

用dfs遍历G中的每个顶点，通dfn[i]表示dfs时达到顶点i的时间，low[i]表示i所能直接或间接达到时间最小的顶点。(实际操作中low[i]不一定最小，但不会影响程序的最终结果)

程序开始时，time初始化为0，在dfs遍历到v时，low[v]=dfn[v]=time++，

v入栈（这里的栈不是dfs的递归时系统弄出来的栈）扫描一遍v所能直接达到的顶点k，如果 k没有被访问过那么先dfs遍历k，low[v]=min(low[v],low[k])；如果k在栈里，那么low[v]=min(low[v],dfn[k])(就是这里使得low[v]不一定最小，但不会影响到这里的low[v]会小于dfn[v])。扫描完所有的k以后，如果low[v]=dfn[v]时，栈里v以及v以上的顶点全部出栈，且刚刚出栈的就是一个极大强连通分量。

【大概的证明】

1．  在栈里，当dfs遍历到v，而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时，low[v]=dfn[v]时，v一定能到达栈里v上面的顶点：

因为当dfs遍历到v，而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时（假设上面没有low=dfn），这时如果发现low[v]=dfn[v]，栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的，所以v一定能够到达那些顶点。

2 .dfs遍历时，如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v]，我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点，这些顶点的low一定小于 自己的dfn，不然就会出栈了，也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量，如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v]（这里不再详细说），所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。

【时间复杂度】

因为所有的点都刚好进过一次栈，所有的边都访问的过一次，所以时间复杂度为O（n+m）

【可看证明】

若存在边<i, j>且遍历到它的时候j在栈中，那么i和j可能存在三种关系：
（1）i是j的祖先；
（2）j是i的祖先；
（3）i和j无前后关系。
对于情况（1），必有dfn[j]>dfn[i]，因此不必考虑；
对于情况（2），<i, j>是逆向边，显然i、j处于同一个强连通分支；
对于情况（3）：<i, j>是横叉边。显然i、j必然在同一棵搜索树中（因为搜索树的根结点肯定满足low=dfn），设p=LCA(i, j)，由于从p到j的路径上木有low=dfn的结点（否则j已经出栈了），所以j必然可以到达p，又因为p可以到达i，所以j也可以到达i，又因为存在边<i, j>，所以i、j处于同一个强连通分支，这样就需要在计算low[i]的时候把dfn[j]考虑进去，而不能让i及其所有后代成为一个强连通分支。

【外援】https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan