R语言-妹子被追后的选择分析

前提假设

妹子们一生中可以遇到100个追求者，追求者的优秀程度符合正态分布；
每个妹子都具备判断并比较追求者优秀程度的能力；
接受或拒绝一个追求者后永远无法后悔。

那么，问题来了

当遇到追求者时，如何选择才能获得最优结果？

如果人的优秀程度符合均值为80，方差20的正态分布，随机产生100个追求者，其优秀程度分布情况见下图：

p=rnorm(100,80,20)
hist(p,main="追求者--统计", ylab="数量", xlab="优秀程度",
     col=rainbow(50))
boxplot(p,col="red",lwd=2)

条形图显示了追求者的初始状态，盒装图显示的是大多数妹子所接受的追求者的能力情况。通过分布图可以看出，大多数理性人只能选择那些优秀程度在80左右的追求者。

下面介绍选择方法

首先，为了不错过在未来可以接受更优秀的追求者，理性的妹子会拒绝最早的一批追求者，并且采用第一批追求者做样本量k，理性地判断出追求者中最优秀的一位，其优秀程度记作y。然后，当遇到新追求者的时候，将追求者的优秀程度与y进行比较，优于y则选择接受，否则继续等待新的追求者；若新追求者的优秀程度始终小于y，则选择做剩女。

如何求出最优的样本量k？

如果最优秀的追求者出现在第i个位置（k < i ≤n），其中k、n为大于0的固定值。要想让第i个出现的他成功被妹子接受，就必须得满足前 i-1 任意一个位置出现的追求者被拒绝，这有$\frac{k}{i-1}$的可能。考虑所有可能的i，我们便得到了试探前 k 个追求者之后能选中最佳追求者的总概率 P(k)：
\[P(k) = \sum_{i=k+1}^n \frac{1}{n}\cdot\frac{k}{i-1} = \frac{k}{n}\sum_{i=k+1}^n\cdot\frac{1}{i-1}\]
用 x 来表示 k/n 的值，并且假设 n 充分大，则上述公式可以写成：
\[P(k) = x\int_x^1 \frac{1}{t}dt = -xlnx\]
对-xlnx求导，并令这个导数为0，可以解出x的最优值，它就是欧拉研究的神秘常数的倒数$e^{-1}$，则样本$k=n \cdot x= e^{-1}$。即当预计总追求者人数为100的时候，应先拒绝掉前$100e^{-1} =37$个人，用来做追求者样本。

sIdo=N=numeric()
for (i in 1:100){
  p=rnorm(100, 80, 20)
  pm=max(p[1:37])
  for(i in seq(37,100)){
    if(p[i]>pm){
      Ido=p[i]
      n=i
      break}
    else Ido=0;n=101}
  sIdo=c(sIdo,Ido)
  N=c(N,n)}
sum(N==101)/100  #剩女比例

图3、图4代表按照此种选择方法，重复100次实验（100个妹子）得到的追求者分布状态，通过条形图可以看出，60%的妹子成功找到如意郎君，被接受的追求者优秀程度在100以上；其余40%的妹子们，由于在第一批追求者当中拒绝掉了最优秀的那位，无奈选择做剩女。

plot(N,sIdo,pch=20,main="追求者散点图", ylab="优秀程度", xlab="接受时机",col=rainbow(80),cex = 1.5)
points(101,0,pch=20,col="#32CD32",cex = 2)
text(95, 1, "剩女101",cex = .8)

追求者散点图可以看出，比较优秀的追求者且被接受时，其排位在100位当中的50位左右的概率最大，即追妹子的最好时机不是越早越好。

综上所诉，可以得出如下结论：

样本人数最优值为样本总量的37%；
比较优秀的追求者成功追到妹子的概率在60%左右；
优秀者的最佳出现时机为中间偏后位置。

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作者：ShangFR
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