[MIT 18.06 线性代数]Intordution to Vectors向量初体验

目录

• 1.1. Vectors and Linear Combinations向量和线性组合
  • REVIEW OF THE KEY IDEAS
• 1.2 Lengths and Dot Products向量长度和点积
  • REVIEW OF THE KEY IDEAS
• 1.3 Matrices矩阵
  • REVIEW OF THE KEY IDEAS

1.1. Vectors and Linear Combinations向量和线性组合

emmm，想写细一点，发现下面的概括很准确了，没必要

REVIEW OF THE KEY IDEAS

1. A vector v in two-dimensional space has two components v1 and v2.（二维空间中的向量v，有2个分量v1和v2）

2. $v + w = ( v1 + w1, v2 + w2) $and \(cv = ( cv1, cv2)\) are found a component at a time.（向量的加法和数乘，每次计算出一个分量）

3. A linear combination of three vectors u and v and w is cu+ dv + ew.（向量的线性组合）

4. Take all linear combinations of u, or u and v, or u, v, w. In three dimensions,

   those combinations typically fill a line, then a plane, then the whole space \(R^3\) .（在三维的情况下，u、u和v、u，v和w的全部线性组合，分别能够填满一条线、一个平面和一个三维空间）

1.2 Lengths and Dot Products向量长度和点积

emmm，想写细一点，发现下面的概括很准确了，没必要

REVIEW OF THE KEY IDEAS

1. The dot product \(v • w\) multiplies each component \(v_i\) by \(w_i\) and adds all \(v_iw_i\). （2个向量的点积 = 对应分量乘积之和）

2. The length \(||v||\) is the square root of \(v · v\). Then \(u = v / ||v||\) is a unit vector : length 1.（向量长度是向量自身点积的算术平方根，单元向量的长度是1）

3. The dot product is \(v · w\) = 0 when vectors \(v\) and \(w\) are perpendicular.（2个向量互相垂直时，点积为0）

4. The cosine of θ ( the angle between any nonzero v and w) never exceeds 1（任意2个非0向量夹角的余弦值都不超过1）:

   Cosine \(cosθ = \frac{v · w}{||v||||w||}\), Schwarz inequality \(|v·w|≤||v||||w||\)

1.3 Matrices矩阵

矩阵只是一种表示方式，一种形式，重要的是：矩阵中元素的解释方式、矩阵间操作的含义，矩阵和向量间操作的含义。

某种意义上来说，可以理解为：解线性方程组的时候，嫌麻烦，想少写点字。。。因此简化成了矩阵形式。。。

一些和矩阵密切相关的概念（简单知道就行，公开课也没在第一章讲这些，而是在后面的章节细说）：

• Linear Equations线性方程组
• The Inverse Matrix逆矩阵
• Cyclic Differences循环差
• Independence and Dependence线性无关与线性相关

REVIEW OF THE KEY IDEAS

1. Matrix times vector: A\(x\) = combination of the columns of A（矩阵 × 向量 = 矩阵中列向量的线性组合）

2. The solution to A\(x\) = b is \(x\) = \(A^{-1}b\), when A is an invertible matrix.（如果A是可逆矩阵，那么Ax=b方程的解是：x=\(A^{-1}b\)）

3. The cyclic matrix C has no inverse. Its three columns lie in the same plane.（循环矩阵C没有逆矩阵，它的3个列向量在同一个平面上）

   Those dependent columns add to the zero vector. Cx = 0 has many solutions.（线性相关的列向量和为0向量时，有非0解）

4. This section is looking ahead to key ideas, not fully explained yet.（1.3这个小节有点超前了。os：确实，很多概念在公开课上都是后面会详细讲的，这部分目前只需要简单知道就行，讲太细会丧失学习兴趣的）