数学分析理论（rudin版）笔记：实数系和复数系.1

导引

有理数集是“稀疏的”和“稠密的”。

选择公理

考虑以下问题：容易找到两个无理数 a, b 使 a + b 为有理数，或者使 ab 为有理数，但是能否使得 ab 也是有理数？

答：令 

如果 x 是一个有理数，则即可。

如果 x 是无理数，则令 ，而 ，则，通过Gelfond-Schneider 定理可知：如果 α ≠ 0, 1 是一个代数数，而 β 是一个代数数而非有理数，则 α^β 是一个超越数。因此， 是一个超越数，也是一个无理数。由此可证。

选择公理是从一些集合做出其他集合的几个规则之一。这种规则的两个典型例子是下面的命题：对于任意的集合 A，可以作出其一切子集合的集合，称为 A 的幂集，还有对于任意的集合 A 和任意的性质 p，可以作出 A 中所有具有性质 p 的元素的集合（这两条规则分别叫做幂集公理和概括公理）。粗略地说，选择公理说的就是允许我们在作出一个新集合的时候作任意多次未加特别说明的选择。

另一个回答：令 ，则：

1. 
2. 

哪一种可以解答上文证明？

1. 如果 v 是有理数，第一种情况能行。

2. 如果 v 是无理数，第二种情况能行。

拓展1：

Banach和Tarski提出分球悖论，意图以此拒绝接受选择公理：

一个三维或者更高维球面或者球体存在一个分割，使得经过一些旋转和平移操作后，我们可以得到两个不相交的球面或者球体，且其并集正好为两个和原球体等大的球。

这个悖论（或者定理）说明了不是所有的集合都是勒贝格可测集，因为勒贝格可测集的测度是旋转和平移不变的，但是球体的测度是正的（就是球的体积不是0），如果所有子集都可测，那么对球体的（有限）划分，每一个子集做平移旋转之后的测度是不变的，所以无论怎样我们都不能得到两个球体的集合。

Banach-Tarski Paradox 的根本原因是群 SO(3)的一个特殊性质：存在a, b 是 SO(3) 的元素, 使得 <a, b> 是SO(3) 的子群。

（SO(3) 不仅仅是一个不可交换群，它还有特殊的子群，叫做自由群(free group)，并且这个自由群的生成元素(generator) 可以是可数个（数目什么的不重要。

首先，我们来观察一下由{a, b}生成的自由群F₂的样子，我们把F分为四类，其中S(a) = {x∈F2, x₁=a}，x₁代表x的第一个位置。同理，我们可以得到S(b), S(a⁻¹), S(b⁻¹)，这样我们会得到F的一个无交分解F₂ = {e} ⋃ S(a) ⋃ S(b) ⋃ S(a⁻¹) ⋃ S(b⁻¹)，在这几个子集中我们发现有这样的性质，aS(a⁻¹) ⋃ S(a) = F₂，bS(b⁻¹) ⋃ S(b) = F₂。这个等式与我们想要的结果已经在形式上类似了，并且一个三维空间中的所有旋转组成了一个群，这让我们希望能够发现这个群中是否包含一个两个元素生成的自由群。

比如令θ = arctan(1/3)，a, b分别代表绕x轴和z轴顺时针旋转θ角，则由a, b生成的群就是这样的一个由两个元素生成的自由群。事实上，我们只要取θ是π的无理倍，并且两个旋转无关，即不能通过组合的方式回到原样，就是一组我们可以选取的a, b。我们把这个群记为G。

我们首先考虑球面S²上的点，我们可以通过G对S²的一个群作用，把S²分成不同的轨道，作用方式即为旋转，这其实给出了一个等价关系，即两个点在同一个等价类中当且仅当他们中间只差G中的一个旋转。

下面我们将要使用选择公理，我们要在每一个轨道中选出一个代表元素，使他们组成一个集合，记为M，则我们有G×M = S²，由上，我们给出了S²的一个无交分解S² = M ⋃ S(a)M ⋃ S(b)M ⋃ S(a⁻¹)M ⋃ S(b⁻¹)M。再根据上面讨论的该自由群的性质，我们可以对S²进行一个分解，由于直接分解会导致M的重复，所以我们把S²分解为以下四个部分，A₁ = M ⋃ S(a)M ⋃ B，A₂ = S(a⁻¹)M∖B，A₃ = S(b)M，A₄ = S(b⁻¹)M，其中B = a⁻¹M ⋃ a⁻²M⋃⋯⋯，简单验证便可以发现，aA₂ ⋃ A₁ = S²，bA₄ ⋃ A₃ = S²。到这里，我们就完成了对球面上的分解的证明，至于对于整个球，我们只需做连接球面与球心半径的半开半闭区间，其中球心为开区间端点，便可得到最终对整个球的分解。

拓展2：

Zorn引理一直被称之为选择公理的等价命题。要理解Zorn公理，我们首先要明白以下的概念：

定义1（顺序） 对于给定的集合  ，若他的某些元之间能建立关系  满足：

• 自反性（Reflexivity）： ;

• 对称性（Symmetry）：若  且  ，则  ;

• 传递性（Transitivity）: 若  且  , 则  ；

则称关系“  ”为集合  中的一个顺序（order）. 集  为关于顺序  的偏序集(partial ordered set).

比如通常的定义在实数域  上的"  "就是一个偏序关系，而就是关于顺序"  "的偏序集. 需要注意的是，在偏序集中，并非任意两个元素之间都有顺序.

而如果  中的任何两个元素都有顺序，我们也称其可以比较（comparable），也就是说：对任意  ,  和  中至少有一个成立，则称集合  为关于顺序  的全序集(total ordered set).

那么根据这一定义，刚所提到的  就是关于小于等于顺序"  "的全序集. 为了理解进一步这里的顺序和一般的大于等于和小于等于的关系，我们再举一个例子：设  是一个非空集合，  是  的所有子集，若用包含关系"  "作为  中某些元素间的顺序，则  关于关系  成为一个半序集，但不是全序集.

定义2（上、下界）设  是半序集，  是  上的关系， ，若存在  , 使得对一切  , 都有  （对应的  ）成立，则称  为集合  的上界（对应的下界）（upper bound & lower bound）.

又设  为  的上界，若对  的任一上界（下界）  , 均有  (对应的  ), 则称  为  的上确界（对应的下确界）(supremum & infimum )，记作  (  ).

定义3 （极大元/极小元） 设  是半序集， 是  上的关系，  ,  . 若对一切  有要么（i）  (  ) 成立，要么(ii)  与  没有关系，则称  为  的极大元（极小元）（maximal element/minimal element）.

在理解上述几个概念的基础下，Zorn引理叙述如下：

Zorn引理 设  是非空偏序集，如果其中的任意全序子集有上界（下界），那么  有极大元（极小元）.

引理证明：采用反证法。先证明假如每个以x0x0为最小元的良序子集(以≤≤为良序关系)都有严格上界，那么任意给定一个序数，(X,≤)(X,≤)中必存在良序子集(以≤≤为良序关系)与该序数序同构.

证明采用强数学归纳法。对于序数∅∅来说，存在XX的良序子集∅∅与其序同构。

对于序数kk，假设∀x∈k∀x∈k,XX中都存在良序集(y,≤)(y,≤)与xx序同构(注意，如果序数kk不是自然数，那么在做出这个假设的时候要用到选择公理 ，为什么?)，使得当x1,x2∈k,x1⊆x2x1,x2∈k,x1⊆x2，且x1x1与(y1,≤)(y1,≤)序同构，x2x2与(y2,≤)(y2,≤)序同构时，(y1,≤)(y1,≤)是(y2,≤)(y2,≤)的前段。把(X,≤)(X,≤)中所有与  属于kk的序数   序同构的元素(y,≤)(y,≤)并起来，形成一个集合B=⋃yB=⋃y, 易得BB关于≤≤形成良序集(为什么?提示:使用这两个结论:1.某些序数形成的类FF，在FF中，必存在最小的序数min(F)min(F),min(F)min(F)含于FF中的每一个序数。2.良序集的子集必是良序集。)，且(B,≤)(B,≤)是(X,≤)(X,≤)的子集(为什么?)

当kk不是一个极限序数，也就是说，存在序数ββ,使得β⋃{β}=kβ⋃{β}=k.那么，由于XX里存在良序集(y′,≤)(y′,≤)与ββ序同构,且由假设，(y′,≤)(y′,≤)存在严格上界ll，所以(y′⋃{l},≤)(y′⋃{l},≤)与kk序同构。

当kk是一个极限序数，即不存在序数ββ,使得β⋃{β}=kβ⋃{β}=k。那么易得k=⋃β∈kβk=⋃β∈kβ(为什么?)。可见此时，kk与(B,≤)(B,≤)序同构(为什么?)。
综上，由强数学归纳法，对于任何序数，(X,≤)(X,≤)中总存在良序子集(以≤≤为关系)与该序数序同构。

根据布拉利-福尔蒂悖论,所有的序数无法形成一个集合，所以XX的所有子集无法形成一个集合(为什么?)。这与幂集公理矛盾。因此假设错误。即存在(X,≤)(X,≤)的良序子集(以≤≤为良序关系)，该良序子集以x0x0为最小元且没有严格上界。引理证毕。