LG P6788 「EZEC-3」四月樱花

Description

在樱花盛开的四月，Muxii 望着满天飘落的樱花，向身旁的 ZZH 问道：

“究竟有多少朵樱花在这个四月飘落？”

ZZH 答道：“樱花飘落的朵数  $s$与时间 $t$ 有如下关系：

$s=\prod_{x=1}^t \prod_{y|x} \frac{y^{d(y)}}{\prod_{z|y}(z+1)^2}$

其中 $d(y)$ 表示 $y$ 的约数个数。”

但作为一个文科生萌新，Muxii 显然无法清楚地知道具体的数目，因此他只好继续向 ZZH 询问这个问题的答案。

由于数量可能很大，所以你只需要替 ZZH 告诉 Muxii 他所需要的答案对 $p$ 取模的结果就好了。

Solution

题中所求为

$$ans=\left(\prod_{x=1}^n\prod_{y|x}\frac{y^{d(y)}}{\prod_{z|y}(z+1)^2}\right)\bmod p$$

大力操作式子：因为

$$y^{d(y)}=\prod_{z|y}y=\prod_{z|y}z\cdot\frac{y}{z}=\prod_{z|y}z^2$$

和

$$\sum_{z|y,y|n}=d(\frac{n}{z})$$

所以

$$s=\prod_{x=1}^n\prod_{y|x}\frac{y^{d(y)}}{\prod_{z|y}(z+1)^2}=\prod_{x=1}^n\prod_{y|x}\prod_{z|y}\left(\frac{z}{z+1}\right)^2=\prod_{z=1}^n\left(\frac{z}{z+1}\right)^{2sumd(\lfloor\frac{n}{z}\rfloor)}$$

其中$sumd(n)=\sum_{i=1}^n d(i)$

由于要求$d$的前缀和，所以有杜教筛

设$f=d=1*1，g=\mu$，则$f*g=1*1*\mu=1$，可以使用杜教筛，现在需要求出$\mu$的前缀和

再次使用杜教筛即可

求原式的值可以用整除分块做

时间复杂度$\Theta(n^{\frac 23}+\sqrt{n}\log n)$

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,mod,pmod,prime[],mu[],minn[],d[],tot,summu[],sumd[],ans=;
bool isprime[],vst[];
inline long long read()
{
    long long w=,f=;
    char ch=;
    while(ch<''||ch>'')
    {
        if(ch=='-')
            f=-;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>=''&&ch<='')
    {
        w=(w<<)+(w<<)+ch-'';
        ch=getchar();
    }
    return w*f;
}
long long Mu(long long x)
{
    return x<=?mu[x]:summu[n/x];
}
long long D(long long x)
{
    return x<=?d[x]:sumd[n/x];
}
void djs(long long N)
{
    if(N<=||vst[n/N])
    {
        return;
    }
    vst[n/N]=true;
    for(long long l=;l<=N;)
    {
        long long r=N/(N/l);
        djs(N/l);
        (summu[n/N]+=(pmod-(r-l+)*Mu(N/l)%pmod)%pmod)%=pmod;
        l=r+;
    }
    (summu[n/N]+=)%=pmod;
    for(long long l=;l<=N;)
    {
        long long r=N/(N/l);
        (sumd[n/N]+=pmod-((Mu(r)-Mu(l-)+pmod)%pmod)*D(N/l)%pmod)%=pmod;
        l=r+;
    }
    (sumd[n/N]+=N)%=pmod;
}
long long ksm(long long a,long long p)
{
    long long ret=;
    while(p)
    {
        if(p&)
        {
            (ret*=a)%=mod;
        }
        (a*=a)%=mod;
        p>>=;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    n=read();
    mod=read();
    pmod=mod-;
    mu[]=d[]=;
    for(long long i=;i<=;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=-;
            d[i]=;
            minn[i]=;
        }
        for(long long j=;j<=tot&&i*prime[j]<=;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=true;
            if(!(i%prime[j]))
            {
                minn[i*prime[j]]=minn[i]+;
                d[i*prime[j]]=d[i]/(minn[i]+)*(minn[i*prime[j]]+);
                mu[i*prime[j]]=;
                break;
            }
            minn[i*prime[j]]=;
            d[i*prime[j]]=d[i]*d[prime[j]];
            mu[i*prime[j]]=mu[i]*-;
        }
    }
    for(long long i=;i<=;i++)
    {
        (d[i]+=d[i-])%=pmod;
        ((mu[i]+=mu[i-])+=pmod)%=pmod;
    }
    djs(n);
    for(long long l=;l<=n;)
    {
        long long r=n/(n/l);
        (ans*=ksm(l*ksm(r+,mod-)%mod,D(n/l)))%=mod;
        l=r+;
    }
    (ans*=ans)%=mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return ;
}

四月樱花