[学习笔记] L1-PCA

L1-PCA

Intro

PCA的本质就是从高维空间向低维空间投影，投影的本质又是左乘(或右乘)一个向量(表征原来特征空间到投影后特征空间的权重)，经过线性加权，转换到低维空间表征，如果将向量换成矩阵(假设由m个向量组成)，则是将原高维空间降维到m维空间上去。

L1-PCA解决的问题是outlier问题(一般PCA假设噪声服从高斯分布，如果有异常不服从，那么此时PCA的效果将非常差)，一般PCA是对outlier比较敏感的，而L1-PCA不对outlier敏感.

PCA回顾

有必要从数学角度理解一下PCA。

就像上面我说的，PCA本质是做一种变换，一种变换往往可以通过矩阵乘积来表征，因此：
\[
定义向量a \in R^{p \times 1},特征矩阵X\in R^{n \times p},那么将X降维到1维是相当简单：\\X' = Xa,x'\in R^{n \times 1}
\]
我们学过信号处理我们知道(稍微后面一点)，信号往往具有较大的方差，而噪声的方差是较小的，因此我们就很当然的认为，经过降维后的数据应该具有较大的方差。因此，下一步就是方差最大化：
\[
\sigma^2_a = (Xa)^T(Xa) = a^TX^TXa = a^TVa
\]
下面的任务就成了最大化方差优化求解a的问题了，我们引入约束条件
\[
z = a^TVa - \lambda(a^Ta - 1)\\a^Ta = 1\\\frac{\partial z}{\partial a} = (V+V^T)a - 2 \lambda a = 2Va - 2\lambda a = 0 \\ 可以得到\\(V - \lambda I)a = 0
\]
显然a就是V的特征向量，那么后面我们对V进行特征值分解，就拿到这些向量a啦。

还有一个问题，就是保留更多的信息，也就是方差，所以计算每个成分的方差，从大到小排序取合适即可。

L1-PCA

L1-PCA的思想是，经过降维变换之后，新矩阵的L1范数应该足够大，L1范数表征的是所有行绝对值求和最大的列对应的值。

传统的PCA其实还有个等价形式(具体证明请查阅相关资料):
\[
\max_{W^TW=I} ||WX||_2^2
\]
也就是最大化二范数，而L1-PCA就是将L2范数换成了L1范数，这虽然是不等价的，但是却可以在结果上相似，并且L1范数试验下要更加对outlier鲁棒。

因此L1-PCA求解的问题就是
\[
\max_{W^TW=I} ||WX||_1
\]

由于直接求解这个问题是很困难的，所以我们通常通过贪婪法来求，也就是先求一个变换向量w，在求第二个变换向量，以此类推，一个一个求，而不是一次求完一个矩阵。求解一个变换向量w，问题就变成了：
\[
w^* = arg\max_w ||w^TX||_1 = arg \max_w \sum_1^{n}|w^Tx_i|,subject. to. ||w||_2=1
\]
优化过程为(t代表轮次):
\[
w(t+1) = \frac{\sum_{i=1}^{n}p_i(t)x_i}{||\sum_{i=1}^{n}p_i(t)x_i||_2}\\p_i(t)=\left\{\begin{aligned}1 & ,w^T(t)x_i \ge 0 \\-1 & ,w^T(t)x_i <0 \\\end{aligned}\right.
\]

更新训练数据x
\[
x_i^m = x_i^{m-1} - w_{m-1}(w^T_{m-1}x_i^{m-1}),i = 1...n
\]

具体的证明请见：

L1-PCA优化推导

Coding

很抱歉上一版程序由于我是半夜写的，图最后画错了，今天起来看到了，遂更正了。

'''
@Descripttion: This is Aoru Xue's demo, which is only for reference.
@version:
@Author: Aoru Xue
@Date: 2019-12-12 22:57:47
@LastEditors: Aoru Xue
@LastEditTime: 2019-12-14 00:21:12
'''
import numpy as np
import copy
from matplotlib import pyplot as plt
from numpy import linalg
class L1PCA():
    def __init__(self,):
        pass
    def __call__(self,x,out_n = 2): # x (100,16)
        w = np.ones(shape = (x.shape[0],out_n))
        X = copy.copy(x)
        # 收的得到第一个w
        for epoch in range(300):
            w_t = w[:,0:1] # （100,1）
            top = np.zeros(shape = (X.shape[0],1)) # (100,1)
            for i in range(x.shape[1]):
                xi = X[:,i:i+1] # (100,1)
                pit = 0
                if w_t.T.dot(xi)>=0: # (1,100)@(100,1)
                    pit = 1
                else:
                    pit = -1
                top += (pit * xi)
            bottom = np.sqrt(np.sum(top**2))
            w[:,0:1] = top/bottom

        for j in range(1,out_n):
            for i in range(X.shape[1]):

                b = w[:,j-1:j]*(w[:,j-1:j].T.dot(X[:,i]))

                X[:,i:i+1] = X[:,i:i+1] - b

            for epoch in range(300):
                w_t = w[:,j:j+1] # （100,1）
                top = np.zeros(shape = (X.shape[0],1)) # (100,1)
                for i in range(X.shape[1]):
                    xi = X[:,i:i+1] # (100,1)
                    pit = 0
                    if w_t.T.dot(xi)>=0: # (1,100)@(100,1)
                        pit = 1
                    else:
                        pit = -1
                    top += pit * xi
                bottom = np.sqrt(np.sum(top**2))
                w[:,j:j+1] = top/bottom

        return w.T.dot(x)
class PCA():
    def __init__(self,):
        pass
    def __call__(self,x,out_n = 2): #x (100,16)
        Ex = np.mean(x,axis = 0).reshape(-1,4).T
        Rx = np.cov(x.T)
        eigs,D = linalg.eig(Rx) # val(,10) and vec(10,10)
        indices = np.argsort(eigs)
        U = D[indices[:- out_n - 1:-1],:] # 5个 (5,10)
        Y = U.dot((x.T - Ex)) # (5,1000) 霍特林变换(5,1000)
        return Y
if __name__ == '__main__':
    dataset_path = "/home/xueaoru/下载/iris.data"
    dataset = np.loadtxt(dataset_path,dtype = np.str,delimiter=',')
    x = dataset[:,:-1].astype(np.float)
    y = dataset[:,-1]
    yy = list(set(y))
    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.subplot(4,2,1)
    plt.subplots_adjust(hspace = 1)
    plt.title("attr 0 and attr 1")

    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x[y == target,0],x[y== target,1],marker = 'x',c = c,label = target)

    plt.subplot(4,2,2)
    plt.title("attr 0 and attr 2")
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x[y == target,0],x[y== target,2],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.subplot(4,2,3)
    plt.title("attr 0 and attr 3")
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x[y == target,0],x[y== target,3],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.subplot(4,2,4)
    plt.title("attr 1 and attr 2")
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x[y == target,1],x[y== target,2],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.subplot(4,2,5)
    plt.title("attr 1 and attr 3")
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x[y == target,1],x[y== target,3],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.subplot(4,2,6)
    plt.title("attr 2 and attr 3")
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x[y == target,2],x[y== target,3],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.subplot(4,2,7)
    plt.title("Normal PCA")

    pca = PCA()
    #x = pca(x.T).T

    x1 = pca(x).T
    #print(x.shape)
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x1[y == target,0],x1[y== target,1],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.subplot(4,2,8)
    plt.title("L1-PCA")
    l1pca = L1PCA()
    x2 = l1pca(x.T).T
    print(x2)
    for c,target in zip("rgb",yy): # y is the label
        plt.scatter(x2[y == target,0],x2[y== target,1],marker = 'x',c = c,label = target)
    plt.show()
    #x = np.random.rand(100,16)
    #pca(x)

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