图论——最短路：Floyd，Dijkstra，Bellman-Ford，SPFA算法及最小环问题

一.Floyd算法

　　用于计算任意两个节点之间的最短路径。

参考了five20的博客

Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

标准五行代码如下：

for(k=;k<=n;k++)
    for(i=;i<=n;i++)
        for(j=;j<=n;j++) {
            if(dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j]) {
                 dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
    }
} 

　　但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点K放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

　　

　　更多关于Floyd算法，详细请见：Floyd算法百度百科链接

二.Dijkstra算法：

　　适用于权值为非负的图的单源最短路径。

　　斐波那契堆优化的时间复杂度为O(E+VlogV),但其实只是理论值，实际中基本上达不到。

　　算法思路：

　　参考了殷天文的博客

• 指定一个节点，例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径

• 引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，A->C由于没有直接相连 初始时为∞）

• 初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，A->A = 0，

  U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞，敲黑板！！！接下来要的两个步骤是核心！

• 从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如 A->D = 2

• 更新U集合路径，if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 则更新U

• 循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径

　　朴素版时间复杂度O(n²)算法代码如下：

void Dijkstra()
{
    memset(dis, 0x1f, sizeof(dis));
    dis[] = ;
    for (int i=; i<=n; i++) {
        int min_len = 1e9, k = ;
        for (int j=; j<=n; j++)
            if (!vis[j] && dis[j] < min_len) {
                min_len = dis[j];
                k = j;
            }
        vis[k] = ;
        for (int j=h[k]; j!=-; j=edge[j].next) {
            int to = edge[j].to, w = edge[j].w;
            if (!vis[to] && dis[to] > dis[k]+w) {
                dis[to] = dis[k]+w;
            }
        }
    }
}

　　稳定时间复杂度O(mlogn)的堆优化（优先队列代替）代码如下：

void Dijkstra_Heap()
{
    priority_queue<pair<int, int> > q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(vis,,sizeof(v));
    dis[] = ;
    q.push(make_pair(, ));
    while (!q.empty()) {
        int now = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[now]) continue;
        vis[now] = ;
        for (int i=h[now]; i!=-; i=edge[i].next) {
            int to = edge[i].to, w = edge[i].w;
            if (!vis[to] && dis[to]>dis[now]+w) {
                dis[to] = dis[now] + w;
                q.push(make_pair(-dis[to], to));
            }
        }
    }
} 

这里有一个关于优先队列的小骚操作：

　　由于STL中的优先队列默认是大根堆，所以在使用push函数的时候只需在需要排序的数据前加个‘-’即可。

　

　　关于Dijkstra算法的选择上，对于稀疏图，由于n和m比较接近，故选择堆优化算法；而对于稠密图，由于点少边多，故选择朴素版算法。

　　更多关于Dijkstra算法，详细请见：Dijkstra算法百度百科链接

　　推荐博客：数据结构--Dijkstra算法最清楚的讲解

三.Bellman-Ford算法

　　参考博客：图解贝尔曼福特-算法

可用于解决以下问题：

• 从A出发是否存在到达各个节点的路径(有计算出值当然就可以到达)；
• 从A出发到达各个节点最短路径(时间最少、或者路径最少等)
• 图中是否存在负环路（权重之和为负数）
• 有边数限制的最短路

　　算法思路：

1. 　初始化时将起点s到各个顶点v的距离dist(s->v)赋值为∞，dist(s->s)赋值为0
2. 　后续进行最多n-1次遍历操作,对所有的边进行松弛操作,假设:
3. 　所谓的松弛，以边ab为例，若dist(a)代表起点s到达a点所需要花费的总数， dist(b)代表起点s到达b点所需要花费的总数,weight(ab)代表边ab的权重， 若存在:
4. 　(dist(a) +weight(ab)) < dist(b)
5. 　则说明存在到b的更短的路径,s->...->a->b,更新b点的总花费为(dist(a) +weight(ab))，父节点为a
6. 　遍历都结束后，若再进行一次遍历，还能得到s到某些节点更短的路径的话，则说明存在负环路

　　思路上与狄克斯特拉算法(Dijkstra algorithm)最大的不同是每次都是从源点s重新出发进行"松弛"更新操作，而Dijkstra则是从源点出发向外扩逐个处理相邻的节点，不会去重复处理节点，这边也可以看出Dijkstra效率相对更高点。

　　下面是有边数k限制的Bellman_ford算法模板：

void Bellman_ford()
{
    memset(dis,0x1f,sizeof(dis));
    dis[]=;
    for(int i=;i<=k;i++)
    {
        memcpy(last,dis,sizeof(last));
        for(int j=;j<=m;j++)
        {
            int u=edge[j].u,v=edge[j].v,w=edge[j].w;
            if(dis[v]>last[u]+w)dis[v]=last[u]+w;
        }
    }
}

　　

　　更多关于Bellman-Ford算法，详细请见：Bellman-Ford算法百度百科链接

四.SPFA算法

　　SPFA是西安交通大学的段凡丁在1994年与《西安交通大学学报》中发表的“关于最短路径的SPFA快速算法”，他在里面说SPFA速度比Dijkstra快，且运行V次的SPFA速度比Floyd速度快。
　　而事实证明SPFA算法是有局限的，他不适用于稠密图，对于特别情况的稠密图，SPFA复杂度和BellmanFord时间一样。

　　适用范围：适用于权值有负值，且没有负圈的图的单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个节点进入Queue的次数，且k一般<=2，但此处的复杂度证明是有问题的，其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).

　　注意：SPFA算法在网格图中非常慢

　　算法思路：

　　参考了小天位的博客

• 　SPFA(Shortest Path Faster Algorithm) [图的存储方式为邻接表]。
• 　是Bellman-Ford算法的一种队列实现，减少了不必要的冗余计算。
• 　算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。它可以在O(kE)的时间复杂度内求出源点到其他所有点的最短路径，可以处理负边。
• SPFA 在形式上和BFS非常类似，不同的是BFS中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中，一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
• 　判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过V次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。

　　代码如下：

void SPFA() {
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(vis, , sizeof(vis));
    queue<int> q;
    dis[] = ; vis[] = ;
    q.push();
    while (!q.empty()) {
        int now = q.front();
        q.pop(); vis[now] = ;
        for (int i=h[now]; i!=-; i=edge[i].next) {
            int to = edge[i].to, w = edge[i].w;
            if (dis[now]+w < dis[to]) {  //在队列中的点也可以进行松弛操作，故这里不需加！ifq[to]的条件，而需要加在下面。
                dis[to] = dis[now]+w;
                if (!vis[to]) q.push(to), vis[to] = ;
            }
        }
    }
}

　　更多关于SPFA算法，详细请见：SPFA算法百度百科链接

五.最小环问题

　　解决思路：

　　最小环就是指在一张图中找出一个环，使得这个环上的各条边的权值之和最小。在Floyed的同时，可以顺便算出最小环。

　　记两点间的最短路为dis[i][j]，g[i][j]为边<i,j>的权值。　

　　一个环中的最大结点为k(编号最大)，与它相连的两个点为i,j，这个环的最短长度为g[i][k]+g[k][j]+(i到j的路径中,所有结点编号都小于k的最短路径长度)。

　　根据Floyed的原理，在最外层循环做了k-1次之后，dis[i][j]则代表了i到j的路径中，所有结点编号都小于k的最短路径。

　　综上所述，该算法一定能找到图中最小环。

　　代码如下：

　　参考了Coder_YX的博客

 void floyd(){
     int MinCost = inf;
     for(int k=;k<=n;k++){
         for(int i=;i<k;i++)
             for(int j=i+;j<k;j++)
                 MinCost = min(MinCost,dis[i][j]+mp[i][k]+mp[k][j]);//更新k点之前枚举ij求经过ijk的最小环
         for(int i=;i<=n;i++)
             for(int j=;j<=n;j++)
                 dis[i][j]=min(dis[i][j],dis[i][k]+dis[k][j]);      //更新k点
     }
     if(MinCost==inf)puts("It's impossible.");
     else printf("%d\n",MinCost);
 }

关于四种最短路算法的结论：

参考了xiazdong的博客

(1)当权值为非负时，用Dijkstra。
(2)当权值有负值，且没有负圈，则用SPFA，SPFA能检测负圈，但是不能输出负圈。
(3)当权值有负值，而且可能存在负圈，则用BellmanFord，能够检测并输出负圈。
(4)SPFA检测负环：当存在一个点入队大于等于V次，则有负环。