BZOJ2286: [Sdoi2011]消耗战(虚树/树形DP)

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Description

在一场战争中，战场由n个岛屿和n-1个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为1的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他k个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到1号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用m次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

Input

第一行一个整数n，代表岛屿数量。

接下来n-1行，每行三个整数u,v,w，代表u号岛屿和v号岛屿由一条代价为c的桥梁直接相连，保证1<=u,v<=n且1<=c<=100000。

第n+1行，一个整数m，代表敌方机器能使用的次数。

接下来m行，每行一个整数k_i，代表第i次后，有k_i个岛屿资源丰富，接下来k个整数h₁,h₂,…h_k，表示资源丰富岛屿的编号。

Output

输出有m行，分别代表每次任务的最小代价。

Sample Input

10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

Sample Output

12
32
22

HINT

对于100%的数据，2<=n<=250000,m>=1,sigma(ki)<=500000,1<=ki<=n-1

Source

感觉虚树还算比较好理解吧。

首先考虑最暴力的dp,

设$f[x]$表示处理完以$x$为根的子树的最小花费

转移有两种情况

1.断开自己与父亲的联系，代价为从根到该节点的最小值

2.将子树内的节点全都处理掉的代价

但这样时间复杂度是$O(nm)$的，显然过不了

虚树就是把有用的节点都拿出来。这里有用的节点指的是询问节点和他们的lca

然后每次DP的时候只在虚树上DP就可以了

这样时间复杂度为$2*sum_k$

更多关于虚树的姿势可以去这里https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/9142068.html

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
#define LL long long
char buf[( << ) + ], *p1 = buf, *p2 = buf;
using namespace std;
const int MAXN = ;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = , f = ;
    while(c < '' || c > '') {if(c == '-') f = -; c = getchar();}
    while(c >= '' && c <= '') x = x *  + c - '', c = getchar();
    return x * f;
}
char obuf[ << ], *O=obuf;
void print(LL x) {
    if(x > ) print(x / );
    *O++= x %  + '';
}
int N, M;
struct Edge {
    int u, v, w, nxt;
}E[MAXN << ];
int head[MAXN], num = ;
inline void AddEdge(int x, int y, int z) {
    E[num] = (Edge) {x, y, z, head[x]};
    head[x] = num++;
}
vector<int> v[MAXN];
void add_edge(int x, int y) {
    v[x].push_back(y);
}
int a[MAXN], dfn[MAXN], topf[MAXN], siz[MAXN], son[MAXN], s[MAXN], top, deep[MAXN], fa[MAXN], ID = ;
LL mn[MAXN];
void dfs1(int x, int _fa) {
    siz[x] = ; fa[x] = _fa;
    for(int i = head[x]; i != -; i = E[i].nxt) {
        if(E[i].v == _fa) continue;
        deep[E[i].v] = deep[x] + ;
        mn[E[i].v] = min(mn[x], (LL)E[i].w);
        dfs1(E[i].v, x);
        siz[x] += siz[E[i].v];
        if(siz[E[i].v] > son[x]) son[x] = E[i].v;
    }
}
void dfs2(int x, int topfa) {
    topf[x] = topfa;
    dfn[x] = ++ID;
    if(!son[x]) return ;
    dfs2(son[x], topfa);
    for(int i = head[x]; i != -; i = E[i].nxt)
        if(!topf[E[i].v])
            dfs2(E[i].v, E[i].v);
}
int LCA(int x, int y) {
    while(topf[x] != topf[y]) {
        if(deep[topf[x]] < deep[topf[y]]) swap(x, y);
        x = fa[topf[x]];
    }
    if(deep[x] < deep[y]) swap(x, y);
    return y;
}
void insert(int x) {
    if(top == ) {s[++top] = x; return ;}
    int lca = LCA(x, s[top]);
    if(lca == s[top]) return ;
    while(top >  && dfn[s[top - ]] >= dfn[lca]) add_edge(s[top - ], s[top]), top--;
    if(lca != s[top]) add_edge(lca, s[top]), s[top] = lca;//
    s[++top] = x;
}
LL DP(int x) {
    if(v[x].size() == ) return mn[x];
    LL sum = ;
    for(int i = ; i < v[x].size(); i++)
        sum += DP(v[x][i]);
    v[x].clear();
    return min(sum, (LL)mn[x]);
}
int comp(const int &a, const int &b) {
    return dfn[a] < dfn[b];
}
int main() {
    #ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);
    #endif
    memset(head, -, sizeof(head));
    mn[] = 1ll << ;
    N = read();
    for(int i = ; i <= N - ; i++) {
        int x = read(), y = read(), z = read();
        AddEdge(x, y, z); AddEdge(y, x, z);
    }
    deep[] = ;
    dfs1(, );
    dfs2(, );
    M = read();
    while(M--) {
        int K = read();
        for(int i = ; i <= K; i++) a[i] = read();
        sort(a + , a + K + , comp);
        s[top = ] = ;
        for(int i = ; i <= K; i++) insert(a[i]);
        while(top > )  add_edge(s[top - ], s[top]), top--;
        print(DP()), *O++ = '\n';
    }
    fwrite(obuf, O-obuf,  , stdout);
    return ;
}