「TJOI2019」唱、跳、rap 和篮球

题目分析

据说这是一道生成函数题

看到限制条件，我们首先想到的就是对有多少组讨论cxk的人进行容斥。然后就是求剩下的人随便放有多少种方法了。考虑现在每种剩$a,b,c,d$人，还需要排$n$人，那么方案数就是

\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^c\sum_{l=1}^d [i+j+k+l=n]{n\choose i}{n - i\choose j}{n-i-j\choose k}{n-i-j-k\choose l}
\]

其中$[]$内表达式为真时，值为$1$，否则为$0$。

可以化简为

\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^c[0\leqslant n-i-j-k\leqslant d]{n\choose i}{n-i\choose j}{n-i-j \choose k}
\]

这个式子暴力求得话复杂度明显不对，他是$O(n^3)$的。

考虑只枚举$i$和$j$。那么满足$0\leqslant n-i-j-k\leqslant d$的$k$显然是一个连续的区间，不妨记作$[L,R]$。那么对答案的贡献就是

\[{n\choose i}{n-i\choose j}\sum_{k=L}^R{n-i-j\choose k}
\]

后面那个求和预处理加前缀和即可$O(1)$求得。那么时间复杂度就降到了$O(n^2)$。加上外面一层容斥，那么总时间复杂度就是$O(n^3)$。

实现的时候注意边界条件！！！

参考程序

码风氪化

#include <bits/stdc++.h>

#define LL long long

using namespace std;

const LL Maxn = 1010;

const LL Maxa = 510;

const LL Mod = 998244353;

LL N, A[ 4 ], Fact[ Maxn ], Inv[ Maxn ], C[ Maxn ][ Maxn ], Sum[ Maxn ][ Maxn ], Ans;

void Exgcd( LL a, LL b, LL &x, LL &y ) { if( b == 0 ) { x = 1; y = 0; return; } Exgcd( b, a % b, y, x ); y -= a / b * x; return; }

LL inv( LL a ) { LL x, y; Exgcd( a, Mod, x, y ); if( x < 0 ) x += Mod; return x; }

LL S( LL n, LL l, LL r ) { LL Ans = Sum[ n ][ r ]; if( l ) Ans = ( Ans - Sum[ n ][ l - 1 ] + Mod ) % Mod; return Ans; }

LL Cal( LL Sta ) {

	LL Ans = 0; for( LL i = 0; i < 4; ++i ) A[ i ] -= Sta;

	for( LL i = 0; i <= A[ 0 ] && i <= N - Sta * 4; ++i )

		for( LL j = max( 0LL, N - Sta * 4 - A[ 2 ] - A[ 3 ] - i ); j <= A[ 1 ] && i + j <= N - Sta * 4; ++j ) {

			Ans = ( Ans + C[ N - Sta * 4 ][ i ] * C[ N - Sta * 4 - i ][ j ] % Mod * S( N - Sta * 4 - i - j, max( 0LL, N - Sta * 4 - i - j - A[ 3 ] ), min( N - Sta * 4 - i - j, A[ 2 ] ) ) % Mod ) % Mod;

		}

	for( LL i = 0; i < 4; ++i ) A[ i ] += Sta; return Ans;

}

void Work() {

	for( LL i = 0; i <= N / 4; ++i ) {

		for( LL j = 0; j < 4; ++j ) if( i > A[ j ] ) return;

		if( i & 1 ) Ans = ( Ans - C[ N - i * 3 ][ i ] * Cal( i ) % Mod + Mod ) % Mod;

		else Ans = ( Ans + C[ N - i * 3 ][ i ] * Cal( i ) % Mod ) % Mod;

	}

	return;

}

int main() {

	scanf( "%lld", &N ); for( LL i = 0; i < 4; ++i ) scanf( "%lld", &A[ i ] );

	Fact[ 0 ] = 1; for( LL i = 1; i <= N; ++i ) Fact[ i ] = Fact[ i - 1 ] * i % Mod;

	Inv[ N ] = inv( Fact[ N ] ); for( LL i = N - 1; i >= 0; --i ) Inv[ i ] = Inv[ i + 1 ] * ( i + 1 ) % Mod;

	for( LL i = 0; i <= N; ++i ) for( LL j = 0; j <= i; ++j ) C[ i ][ j ] = Fact[ i ] * Inv[ j ] % Mod * Inv[ i - j ] % Mod;

	for( LL i = 0; i <= N; ++i ) for( LL j = 0; j <= i; ++j ) Sum[ i ][ j ] = ( Sum[ i ][ j - 1 ] + C[ i ][ j ] ) % Mod;

	Work(); printf( "%lld\n", Ans );

	return 0;

}