【Luogu4299】首都

BZOJ权限题。

洛谷

题目描述

在X星球上有N个国家，每个国家占据着X星球的一座城市。由于国家之间是敌对关系，所以不同国家的两个城市是不会有公路相连的。

X星球上战乱频发，如果A国打败了B国，那么B国将永远从这个星球消失，而B国的国土也将归A国管辖。A国国王为了加强统治，会在A国和B国之间修建一条公路，即选择原A国的某个城市和B国某个城市，修建一条连接这两座城市的公路。

同样为了便于统治自己的国家，国家的首都会选在某个使得其他城市到它距离之和最小的城市，这里的距离是指需要经过公路的条数，如果有多个这样的城市，编号最小的将成为首都。

现在告诉你发生在X星球的战事，需要你处理一些关于国家首都的信息，具体地，有如下3种信息需要处理：

A x y：表示某两个国家发生战乱，战胜国选择了x城市和y城市，在它们之间修建公路（保证其中城市一个在战胜国另一个在战败国）。
Q x：询问当前编号为x的城市所在国家的首都。
Xor：询问当前所有国家首都编号的异或和。

Sol

就是让你动态维护重心 , 但只有加边操作。

重心的一个性质 , 当加入一个叶子节点后 , 重心最多移动一条边的距离。

而判断一个点是否是重心 , 只需要判断它的各儿子的子树大小是否超过整棵树大小一半即可。

所以有一个暴力做法 , 启发式合并 , 然后判断重心是否移动即可。

复杂度\(O(nlog^2n)\)

更加优秀的做法:

重心还有个性质 , 合并两棵树 , 新的重心一定在原来两个重心的路径上 。

那么我们用 \(LCT\) 把路径抠出来 , 重心的位置是可以二分出来的。

具体来说 , 我们在 \(Splay\) 上走 , 每次把两边的 \(size\) 维护好然后判断最大子树大小就行了

注意这里并不需要关心虚子树大小 , 简单来理解就是重心会往大的子树方向动 , 但是合并两棵子树后重心在路径上 , 所以不用关心原来的子树。严格一点分析 , 由于原来那些子树大小不超过原来大小的一半 , 自然不会超过现在大小的一半 。

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T>inline void init(T&x){
	x=0;char ch=getchar();bool t=0;
	for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
	if(t) x=-x;
}
const int N(1e5+10);
int n,m;
#define ls son[0]
#define rs son[1]
#define __ NULL
#define get_son(a) (a->fa->rs==a)
#define get(a,b,c) (a? a->b:c)
#define IS(a) (a&&(!a->fa||(a->fa->son[get_son(a)]!=a)))

struct node{
	node*son[2],*fa;int size,cnt;bool rev;
	node(){ls=rs=fa=__,size=cnt=1;rev=0;}
}T[N],*stk[N];int top=0;
inline void update(node*p){if(!p)return;p->size=get(p->ls,size,0)+get(p->rs,size,0)+p->cnt;}
inline void rotate(node*p){
	int k=get_son(p);node*q=p->fa,*gp=p->fa->fa;
	q->son[k]=p->son[k^1];
	if(p->son[k^1]) p->son[k^1]->fa=q;
	if(!IS(q)) gp->son[get_son(q)]=p;
	p->fa=gp,q->fa=p,p->son[k^1]=q;
	return update(q);
}
inline void push_down(node*p){
	if(!p||!p->rev)return;swap(p->ls,p->rs);p->rev=0;
	if(p->ls)p->ls->rev^=1;if(p->rs) p->rs->rev^=1;
	return;
}
inline void Push(node*p){
	stk[top=1]=p;while(!IS(p)) p=p->fa,stk[++top]=p;
	while(top) push_down(stk[top--]);return;
}
inline void Splay(node*p){
	if(!p)return;Push(p);
	for(;!IS(p);rotate(p)) if(IS(p->fa)) continue;else get_son(p->fa)==get_son(p)? rotate(p->fa):rotate(p);
	return update(p);
}
inline void access(node*p){node*pre=__;for(;p;pre=p,p=p->fa)Splay(p),p->cnt+=get(p->rs,size,0)-get(pre,size,0),p->rs=pre,update(p);}
inline void make_root(node*p){access(p);Splay(p);p->rev^=1;}
inline void split(node*p,node*q){make_root(p),access(q),Splay(q);return;}
inline void link(node*p,node*q){split(p,q);p->fa=q;q->cnt+=p->size,update(q);return;}
inline void cut(node*p,node*q){split(p,q);if(q->ls==p) p->fa=q->ls=__,update(q);return;}
inline node* Find(node*p){access(p);Splay(p);while(p->ls)p=p->ls;return p;}
inline int WP(int u){return (int)(Find(&T[u])-T);}
#define ID(a) ((a)-T)
int Xor,TOT;
inline void Solve(node*p,node*q) {
	split(p,q);node*u=q;node*Ne=__;
	int ban=TOT>>1;
	int suml=0,sumr=0;
	int nowl,nowr;
	while(u) {
		push_down(u);
		node*L=u->ls,*R=u->rs;
		nowl=suml+get(L,size,0),nowr=sumr+get(R,size,0);
		if(nowl<=ban&&nowr<=ban) {
			if(TOT&1) {Ne=u;break;}
			else if((!Ne)||ID(Ne)>ID(u)) Ne=u;
		}
		if(nowl>=nowr) sumr+=get(R,size,0)+u->cnt,u=L;
		else           suml+=get(L,size,0)+u->cnt,u=R;
	}
	make_root(Ne);Xor^=ID(Ne);
}
int main()
{
	init(n),init(m);
	int u,v;for(int i=1;i<=n;++i) Xor^=i;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		char ch=getchar();while(ch!='A'&&ch!='Q'&&ch!='X') ch=getchar();
		if(ch=='A') {
			init(u),init(v);
			int x=WP(u),y=WP(v);
			Splay(&T[x]),Splay(&T[y]);
			TOT=T[x].size+T[y].size;
			Xor^=x^y;link(&T[u],&T[v]);
			Solve(&T[x],&T[y]);
		}
		else if(ch=='Q') {init(u);printf("%d\n",WP(u));}
		else if(ch=='X') printf("%d\n",Xor);
	}
}