65.Longest Increasing Subsequence（最长增长子序列）

Level：

  Medium

题目描述：

Given an unsorted array of integers, find the length of longest increasing subsequence.

Example:

Input: [10,9,2,5,3,7,101,18]
Output: 4
Explanation: The longest increasing subsequence is [2,3,7,101], therefore the length is 4.

Note:

• There may be more than one LIS combination, it is only necessary for you to return the length.
• Your algorithm should run in O(n2) complexity.

Follow up: Could you improve it to O(n log n) time complexity?

思路分析：

  思路一：动态规划的思想解决。dp[ i ]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度，那么状态转移方程就为 if(nums[ j ]<nums[ i ]) dp[ i ]=max(dp[ j ]+1,dp[ i ])；这个递推方程的意思是，在求以nums[ i ]为末尾元素的最长递增子序列时，找到所有序号在 i 之前的且小于nums[ i ]的元素nums[ j ]，即 j < i,且 nums[ j ]<nums[ i ]。如果这样的元素存在，那么对于所有的nums[ j ]都有一个以nums[ i ]结尾的最长递增子序列 ，我们将其中的最长序列选出来就是，以nums[ i ]结尾的最长递增子序列长度，如果这样的元素不存在，那么我们以nums[ i ]自身组成一个以它为结尾的递增子序列。算法的时间复杂度为O(n)。

​  思路二：设计一个容器来存放最长上升子序列，先将nums[0]放入，遍历nums，如果访问到的元素大于，容器尾部的元素，直接加到尾部，如果小于，则使用二分查找找到第一个比其大的元素，将其替换。最终访问完成时，容器中就是最长上升子序列

假设要寻找最长上升子序列的序列是a[n]，然后寻找到的递增子序列放入到数组b中。

​  （1）当遍历到数组a的第一个元素的时候，就将这个元素放入到b数组中，以后遍历到的元素都和已经放入到b数组中的元素进行比较；

​  （2）如果比b数组中的每个元素都大，则将该元素插入到b数组的最后一个元素，并且b数组的长度要加1；

​  （3）如果比b数组中最后一个元素小，就要运用二分法进行查找，查找出第一个比该元素大的最小的元素，然后将其替换。

​  在这个过程中，只重复执行这两步就可以了，最后b数组的长度就是最长的上升子序列长度。例如：如该数列为：

​  5 9 4 1 3 7 6 7

​  那么：

​  5 //加入

​  5 9 //加入

​  4 9 //用4代替了5

​  1 9 //用1代替4

​  1 3 //用3代替9

​  1 3 7 //加入

​  1 3 6 //用6代替7

​  1 3 6 7 //加入

​  最后b中元素的个数就是最长递增子序列的大小，即4。

​  要注意的是最后数组里的元素并不就一定是所求的序列，例如如果输入 2 5 1那么最后得到的数组应该是 1 5而实际上要求的序列是 2 5

代码：

思路一

public class Solution{
    public int lengthOfLIS(int []nums){
        if(nums==null||nums.length==0)
            return 0;
        int []dp=new int [nums.length];
        dp[0]=1; //表示以nums[0]为结尾的最长递增子序列
        int res=1;
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            dp[i]=1;
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i]=Math.max(dp[j]+1,dp[i]);
                    res=Math.max(res,dp[i]);
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

思路二

public class Solution{
    public int lengthOfLIS(int []nums){
        if(nums==null||nums.length==0)
            return 0;
        int []temp=new int [nums.length];
        int size=0;
        temp[size]=nums[0];
        for(int i=1;i<nums.length;i++){
            if(nums[i]>temp[size]){
                size++;
                temp[size]=nums[i];
            }else{
                int t=search(0,size,temp,nums[i]); //找到第一个大于nums[i]的数
                temp[t]=nums[i];
            }
        }
        return size+1;
    }
    public int search(int start,int end,int []temp,int k){//二分查找第一个大于k的值
        while(start<=end){
            int mid=(start+end)/2;
            if(temp[mid]<k){
                start=mid+1;
            }else{
                end=mid-1;
            }
        }
        return start;
    }
}