辗转相除法 & 裴蜀定理

2018-03-11 17:39:22

一、辗转相除法

在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英语：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。

证明：

记gcd(a, b) = d

r = a - bk，r 是b对a的余数，由于a是d的倍数，b是d的倍数，k是整数，那么r必是d的倍数。

因此gcd(a, b) == gcd(b, a % b)

    private int gcd(int x, int y) {
        return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
    }

二、扩展欧几里得 / 贝祖定理

定理：等式 ax + by = c (其中a，b，c均是整数）存在整数解的充要条件是c % gcd(a, b) == 0，也就是说c是a，b最大公约数的倍数。

证明：

记gcd(a, b) = d

辗转相除的过程如下

a / b = s₁ ... r₁

b / r₁ = s₂ ... r₂

r₁ / r₂ = s₃ ... r₃

...

r_{n - 1} / r_n = s_{n + 1} ... r_{n + 1}

r_n / r_{n + 1} = s_{n + 2} ... d

现在开始反代，

d = r_n - r_{n + 1} * s_{n +2}

此时，d是可以通过r_n，r_{n + 1}组合得到。

将r_{n + 1}消掉

d = r_n - (r_{n - 1} - r_n  * s_{n + 1})

此时，d是可以通过r_{n - 1}，r_n 组合得到。

同理消除，最后d可以通过a，b组合得到。

三、Water and Jug Problem

问题描述：

有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。

你允许：

装满任意一个水壶
清空任意一个水壶
从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空
示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True

示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

问题求解：

如果单纯的去思考两个杯子之间的倒来倒去，那么问题就会变得非常复杂。有一种简化思路是，考虑有一个大的杯子，而x，y只是向大杯子中添加或者取出水，如果最终大杯子中数目等于给定的数，那么返回true。

其实就是寻找z = ax + by等式是否有解，也就是规约到了裴蜀定理的概念中，只需要判断z % gcd(x, y)即可。

    public boolean canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (x + y < z) return false;
        if (x == z || y == z || x + y == z) return true;
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }

    private int gcd(int x, int y) {
        return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
    }