UVa 10294 项链和手镯(polya)
https://vjudge.net/problem/UVA-10294
题意:
手镯可以翻转,但项链不可以。输入n和t,输出用t种颜色的n颗珠子能制作成的项链和手镯的个数。
思路:
经典等价类计数问题。
对应题目的翻转问题,分奇偶讨论。
奇数时,如题图右,对称轴是一个珠子到圆心的连线,一共n条。选定对称轴后,对称轴上的一个珠子构成一个循环,其他n-1个珠子分别以对称轴对称构成(n-1)/2个循环,所以循环节的个数是 1 + (n – 1) / 2 = (n + 1) / 2 。
偶数时,如题图左,对称轴可能是两个珠子的连线,一共 n / 2条。选定对称轴后,对称轴上的两个珠子构成两个循环,其他n-2个珠子分别以对称轴对称构成(n-2)/2个循环;对称轴还可能是两个珠子的中点和圆心的连线,所有珠子两两对称,构成n / 2 个循环。
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std; typedef long long LL;
const int maxn=+; int n,t; int gcd(int a,int b)
{
return b==?a:gcd(b,a%b);
} int main()
{
//freopen("D:\\input.txt","r",stdin);
LL p[maxn];
while(scanf("%d%d",&n,&t)==)
{
p[]=;
for(int i=;i<=n;i++) p[i]=p[i-]*t; //计算出t的n次方 LL a=;
for(int i=;i<n;i++) a+=p[gcd(i,n)]; LL b=;
if(n&) b=p[(n+)/]*n;
else b=(p[n/+]+p[n/])*n/;
printf("%lld %lld\n",a/n,(a+b)//n);
}
return ;
}
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