$Matrix-Tree$定理-理论

$Matrix-Tree$

矩阵的行列式

　　这个东西看了好久才明白 _ (:з」∠)_ 时间不够可以直接跳到第六段。

　　看到这种新定义，第一反应还是去翻百度百科：

　　

　　但是这个讲解真的让人很迷惑...关键就是第二段的开头，突然出现了“n阶行列式”这么一个词，我到现在也没有明白...在这个地方好像就是“n阶矩阵”的意思？而且它还出现了奥妙重重的递归计算，导致完全看不懂行列式到底是个什么东西。

　　点开一个叫做“余子式”的词条，里面有这么一句话：

　　“行列式的阶越低越容易计算，于是很自然地提出，能否把高阶行列式转换为低阶行列式来计算。”

​　　这才像话嘛，虽然没有说行列式是什么，但是至少说明了为什么一上来就是一通递归。后来又看了一些资料，发现行列式的关键是“式”，而不能将它简单地认为是一个数，否则很难理解。首先二维矩阵的行列式相当于叉积，三维矩阵的行列式也有几何意义，就是一个平行六面体的体积。所以说了这么多还是不知道行列式是什么啊

​　　${det(K)=}\sum_{P}^{ }\;{(}{(-1)}^{\tau{(P)}}\times{K}_{1,p1}\times{K}_{2,p2}\times{K}_{3,p3}\times\cdots\times{K}_{N,pN}{)}$

　　然后找到这么一个式子，也是算行列式的，这里面 $P$ 是一个$1-n$ 的排列， $\tau{(P)}$ 表示排列 $P$ 的逆序对数目。

　　其实上面那些都没什么用处，毕竟最后我也没弄明白...其实学这些关键还是要用，所以跳过证明，直接看结论：

　　1.交换矩阵的两行或两列，行列式变号；
　　2.如果矩阵有两行或两列完全相同，行列式为0；
　　3.将矩阵某行或某列的所有元素同乘以k后，行列式的值也乘以k；
　　4.将矩阵的某一行/列加上另一行/列的k倍，行列式的值不变；

　　有了这些结论，事情就变得非常简单。将矩阵用高斯消元消成一个上三角矩阵，发现一个有趣的性质：

　　上三角矩阵的行列式是对角线的乘积；

　　这里要用到的是最复杂的那个行列式，当且仅当 $P$ 为 $1$ $2$ $3$ $4$ $...$ 时，连乘的那些项中才会没有 $0$ ，所以就可以很简单的求出行列式的值了。可喜可贺！

$Matrix-Tree$

　　别忘了今天的主题是什么呀...

　　首先看一个新概念：$Kirchhoff$ 矩阵；为了理解它，还要复习两个比较简单的旧概念：

　　　　度数矩阵：一个 $N \times N$ 的矩阵，其中 $D[i][i]$=$i$ 的度数；

　　　　邻接矩阵：一个 $N \times N$ 的矩阵，其中 $A[i][j]$=$i,j$ 间的边数；

　　　　$Kirchhoff$ 矩阵：$K=D-A$

　　事情突然变得简单起来....先求出$Kirchhoff$ 矩阵，任意删掉一行一列，再求行列式，就是生成树的个数啦！是不是非常神奇呢？复杂度 $O(n^3)$。

　　对于用这种方法求出来的值，我们还可以有另一种理解方式：

　　$\sum_T\prod_{e \in T} \omega_e$

　　这个式子的意思是，枚举每棵可能存在的生成树，将边的存在性相乘，如果每条边都存在，也就是一棵生成树，答案就加一。有了这个式子，就可以扩展出一些有趣的东西来了。