CF438E The Child and Binary Tree

思路

设F(x)的第x项系数为权值和为x的答案

题目中要求权值必须在集合中出现，这个不好处理，考虑再设一个C，C的第x项如果是1代表x出现在值域里，如果是0，代表x没有出现在值域里，然后由于二叉树可以分别对左右子树处理，所以

\[F_k=\sum_{i=1}^k C_i \sum_{j=0}^{k-i}F_j F_{k-i-j}
\]

\[F_0=1
\]

可以看出这是一个卷积的形式

\[F=1+C*F*F
\]

然后解一个一元二次方程

\[F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4C}}{2C}=\frac{2}{1 \pm \sqrt{1-4C}}
\]

因为\(C_0=0\)，\(F_0=1\)，所以去掉负号

然后上多项式求逆和多项式开方即可

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 300000;
const int MOD = 998244353;
const int G = 3;
const int invG = 332748118;
struct Poly{
    int t,data[MAXN];
    Poly(){};
};
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(1LL*ans*a)%MOD;
        a=(1LL*a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void NTT(Poly &a,int opt,int n){
    int lim=0;
    while((1<<(lim))<n){
        lim++;
    }
    n=(1<<lim);
    for(int i=0;i<n;i++){
        int t=0;
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if((i>>j)&1)
                t|=(1<<(lim-j-1));
        if(i<t)
            swap(a.data[i],a.data[t]);
    }
    for(int i=2;i<=n;i<<=1){
        int len=i/2;
        int tmp=pow((opt)?G:invG,(MOD-1)/i);
        for(int j=0;j<n;j+=i){
            int arr=1;
            for(int k=j;k<j+len;k++){
                int t=(1LL*a.data[k+len]*arr)%MOD;
                a.data[k+len]=(1LL*a.data[k]-t+MOD)%MOD;
                a.data[k]=(1LL*a.data[k]+t)%MOD;
                arr=(1LL*arr*tmp)%MOD;
            }
        }
    }
    if(!opt){
        int invN = pow(n,MOD-2);
        for(int i=0;i<n;i++){
            a.data[i]=(1LL*a.data[i]*invN)%MOD;
        }
    }
}
void save(Poly &a,int top){
    for(int i=top+1;i<=a.t;i++)
        a.data[i]=0;
    a.t=top;
}
void mul(Poly &a,Poly b){//a=a*b
    int num=a.t+b.t,lim=0;
    while((1<<lim)<=(num+2))
        lim++;
    lim=(1<<lim);
    NTT(a,1,lim);
    NTT(b,1,lim);
    for(int i=0;i<lim;i++)
        a.data[i]=(1LL*a.data[i]*b.data[i])%MOD;
    NTT(a,0,lim);
    a.t=num;
    for(int i=num+1;i<lim;i++)
        a.data[i]=0;
}
void Inv(Poly a,Poly &b,int dep,int &midlen){
    if(dep==1){
        b.data[0]=pow(a.data[0],MOD-2);
        b.t=dep-1;
        return;
    }
    Inv(a,b,(dep+1)>>1,midlen);
    static Poly tmp;
    while((dep<<1)>midlen)
        midlen<<=1;
    for(int i=0;i<dep;i++)
        tmp.data[i]=a.data[i];
    for(int i=dep;i<midlen;i++)
        tmp.data[i]=0;
    NTT(tmp,1,midlen);
    NTT(b,1,midlen);
    for(int i=0;i<midlen;i++)
        b.data[i]=1LL*b.data[i]*((2-1LL*tmp.data[i]*b.data[i])%MOD+MOD)%MOD;
    NTT(b,0,midlen);
    for(int i=dep;i<midlen;i++)
        b.data[i]=0;
    b.t=dep-1;
}
void sqrt(Poly a,Poly &b,int &midlen,int dep){
    if(dep==1){
        b.data[0]=1;
        b.t=dep-1;
        return;
    }
    sqrt(a,b,midlen,(dep+1)>>1);
    while((dep<<1)>(midlen))
        midlen<<=1;
    static Poly tmp1,tmp2,tmp3;
    tmp1=b;tmp3=b;
    save(tmp1,dep-1);
    save(tmp2,-1);
    save(tmp3,dep-1);
    int midlent=1;
    for(int i=0;i<dep;i++)
        tmp1.data[i]=(tmp1.data[i]*2)%MOD;
    Inv(tmp1,tmp2,dep,midlent);
    mul(b,tmp3);
    for(int i=0;i<dep;i++)
        b.data[i]=(b.data[i]+a.data[i])%MOD;
    mul(b,tmp2);
    for(int i=dep;i<midlen;i++)
        b.data[i]=0;
    b.t=dep-1;
}
Poly c,C;
int n,m;
signed main(){
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    c.t=100000;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        scanf("%lld",&x);
        c.data[x]=1;
    }
    for(int i=0;i<=c.t;i++)
        c.data[i]=((-4LL*c.data[i])%MOD+MOD)%MOD;
    c.data[0]=(1+c.data[0])%MOD;
    int midlen=1;
    sqrt(c,C,midlen,c.t+1);
    C.data[0]=(1+C.data[0])%MOD;
    midlen=1;
    save(c,-1);
    Inv(C,c,C.t+1,midlen);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        printf("%lld\n",(c.data[i]*2)%MOD);
    return 0;
}