CF871D Paths

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题意：

n个点的无向图，若$\gcd(x,y) \neq1​$则$(x,y)​$有边，统计$1\sim n​$构成的无向图两两点对最短路是之和是多少（两点不连通最短路记为0）？$n\leq 10^7​$。

题解：

先分类讨论一下：

1. 1和$>\frac n2​$的素数是孤立点，排除掉，其余是一个联通块。
2. $\gcd(x,y)\neq1\longrightarrow dis(x,y)=1​$
3. 记$mi[x]$为x的最小素因子，$mi[x]\times mi[y]\leq n\longrightarrow dis(x,y)=2$
4. 其余均可通过$x \longrightarrow 2\times mi[x] \longrightarrow 2\times mi[y] \longrightarrow y$实现$dis(x,y)=3$

分别考虑：

1. 直接排除即可
2. 方案数$=\sum_x x-1-\varphi(x)$
3. 方案数$=\sum_{x,y}[\gcd(x,y)=1][mi[x]\times mi[y] \leq n]$
4. 剩余点对

考虑第3种情况怎么求：

“看到$\gcd​$想反演”：
$$
\begin{aligned}
ans&=\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d|x}\sum_{d|y}[mi[x]\times mi[y]\leq n]\\
&=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n[mi[x]\times mi[y]\leq n]+\sum_{d=2}^n\mu(d)\sum_{d|x}\sum_{d|y}[mi[x]\times mi[y]\leq n]
\end{aligned}
$$
前一部分比较容易求解，直接开桶维护前缀和即可；

后一部分再分类讨论：

1. $d\leq \sqrt{n}​$：由于$d|x​$，所以必定有$mi[x]\leq mi[d]​$，所以对于任意$d|x,d|y​$都有$mi[x]\times mi[y]\leq n​$，所以可行方案数为$(\frac n2)^2​$。
2. $d>\sqrt{n}$：由于$d|x,d|y$，若设$x=k_1d,y=k_2d$，那么有$k_1,k_2\leq \sqrt{n}$，故只有当$k_1=k_2=1$且d为质数时$mi[x]\times mi[y]>n$，可行方案数为$(\frac n2)^2-1$。

那么就只要枚举d就可以$\mathcal{O}(1)$算答案了。

使用线性筛求积性函数$\varphi(i)$和$\mu(i)​$。至此本题解决。

复杂度$\mathcal{O}(n)$。

code:

 #include<bits/stdc++.h>
 #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
 #define ll long long

 using namespace std;

 const int N=1e7+;
 int n,cnt,phi[N],mu[N],p[N/],vis[N],T[N],pre[N];
 ll sum1,sum2,sum3,ans,all;

 void sieve(int n){
     phi[]=mu[]=;
     rep (i,,n){
         if (!vis[i]) p[++cnt]=vis[i]=i,phi[i]=i-,mu[i]=-;
         for (int j=;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
             vis[i*p[j]]=p[j];
             if (i%p[j]==){phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; break;}
             phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-);
             mu[i*p[j]]=-mu[i];
         }
     }
 }

 int main(){
     scanf("%d",&n); sieve(n);
     rep (i,,n) if (vis[i]!=i||i<=n/) all++; all=all*(all-)/; //所有非0数对
     rep (i,,n) sum1+=i--phi[i]; ans+=sum1;
     rep (i,,n) if (vis[i]!=i||i<=n/) T[vis[i]]++;
     rep (i,,n) pre[i]=pre[i-]+T[i];
     rep (i,,n) if (vis[i]!=i||i<=n/) sum2+=pre[n/vis[i]]; //不考虑gcd(x,y)=1的条件
     int m=sqrt(n);
     rep (i,,n){ //减去gcd(x,y)>1的对数：枚举i为>1的gcd
         ll tmp=;
         tmp+=(ll)(n/i)*(n/i); //vis[ki]<=vis[i]故两个vis[ki]相乘必定<=n
         if (i>m&&vis[i]==i) tmp--; //vis[ki]<=vis[k]，而k<=m，故只有当k1=k2=1且i为质数时vis[k1i]*vis[k2i]>n
         sum2+=mu[i]*tmp;
     }
     sum2/=; ans+=sum2*;
     ans+=(all-sum1-sum2)*;
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }