hdu5608：function

$n^2-3n+2=\sum_{d|i}f(i)$，问$f(i)$前$n$项和。

方法一：直接切入！

$S(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)=\sum_{i=1}^{n}(i^2-3i+2-\sum_{d|i,d<i}f(d))=\sum_{i=1}^{n}(i^2-3i+2)-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i,d<i}f(d)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{3n(n+1)}{2}+2n-\sum_{k=2}^{n}\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}f(d)$

且不管他是不是什么积性函数了，符合杜教筛形式直接算！！

方法二：仔细乱搞

这一看就是反演形式，那就令$g(n)=n^2-3n+2$，反演得

$f(n)=\sum_{d|n}\mu (d)g(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)(\frac{n}{d})^2-3\sum_{d|n}\mu(d)\frac{n}{d}+2\sum_{d|n}\mu(d)=h(n)-3\varphi (n)+2[n=1]$

现在需要知道这三坨东西的前缀和。其中欧拉函数之前写过了，[n=1]的话。。然后就剩个$h(n)$也就是$\sum_{d|n}\mu(d)(\frac{n}{d})^2$。

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu (d)(\frac{i}{d})^2=\sum_{k=1}^{n}k^2\sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor}\mu (d)$。

莫比乌斯的前缀和就可以杜教筛啦！！

方法一是便捷的方式，但方法二是常用的套路，各有千秋。代码方法一。

 #include<string.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 //#include<assert.h>
 #include<algorithm>
 //#include<iostream>
 //#include<bitset>
 using namespace std;

 int T,n,pr;
 #define maxn 1000011
 #define LL long long
 const int mod=1e9+;
 LL s[maxn],f[maxn];
 void pre(int n)
 {
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         f[i]+=1ll*i*i-*i+;
         for (int j=i+i;j<=n;j+=i) f[j]-=f[i];
     }
     for (int i=;i<=n;i++) s[i]=((s[i-]+f[i])%mod+mod)%mod;
 }

 struct Edge{int to,v,next;};
 #define maxh 1000007
 struct Hash
 {
     int first[maxh],le; Edge edge[maxn];
     Hash() {le=;}
     void insert(int y,int v)
     {int x=y%maxh; Edge &e=edge[le]; e.to=y; e.v=v; e.next=first[x]; first[x]=le++;}
     int find(int y)
     {int x=y%maxh; for (int i=first[x];i;i=edge[i].next) if (edge[i].to==y) return edge[i].v; return -;}
 }h;

 int six=(mod+)/,two=(mod+)>>;
 int calc(int n)
 {
     if (n<=pr) return s[n];
     int tmp=h.find(n); if (tmp!=-) return tmp;
     int tot=;
     for (int i=,last;i<=n;i=last+)
     {
         last=n/(n/i);
         tot+=(last-i+)*1ll*calc(n/i)%mod;
         tot-=tot>=mod?mod:;
     }
     int ans=((six*1ll*n%mod*(n+)%mod*(*n+)%mod-two*3ll*n%mod*(n+)%mod+*n)%mod+mod)%mod;
     ans=(ans-tot+mod)%mod;
     h.insert(n,ans);
     return ans;
 }

 int main()
 {
     pre(pr=);
     scanf("%d",&T);
     while (T--) scanf("%d",&n),printf("%d\n",calc(n));
     return ;
 }