POJ 2104 HDU 2665 主席树 解决区间第K大

两道题都是区间第K大询问，数据规模基本相同。

解决这种问题， 可以采用平方划分（块状表）复杂度也可以接受，但是实际表现比主席树差得多。

这里大致讲一下我对主席树的理解。

首先，如果对于某个区间【L，R】，对这个区间排序后，我们构造出了线段树， 每个值在这个子区间出现了几次都可以从线段树中查询，我们就可以在对数时间解决询问。

现在的问题就是怎样在时空复杂度O（nlogn）的时间内构造出这么多的线段树！

1.首先对原序列a排序并删去重复得到新序列b

2.对a的每个前缀构造线段树，即a的前i个数出现在b的[L,R]中的个数。

3.相邻前缀的线段树只有一条边不同，故每次只需要增加logn个点，总的空间复杂度O（nlogn）

4.前缀线段树的可加性，rt[r]-rt[l-1]就表示了原序列a[l,r]在新序列b[L,R]的数量。

代码很清晰，参照代码和上述4个性质，应该可以很快理解主席树。

一句话总结一下， 在本题中， 主席树就的功能就是快速的告诉我们：

　　原序列a的子序列a[l,r]在a排序后的序列b的子序列[L,R]中的个数。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;

int a[N], b[N], rt[N * 20], ls[N * 20], rs[N * 20], sum[N * 20];

int n, k, tot, sz, ql, qr, x, q, T;

void Build(int& o, int l, int r){
    o = ++ tot;
    sum[o] = 0;
    if(l == r) return;
    int m = (l + r) >> 1;
    Build(ls[o], l, m);
    Build(rs[o], m + 1, r);
}

void update(int& o, int l, int r, int last, int p){
    o = ++ tot;
    ls[o] = ls[last];
    rs[o] = rs[last];
    sum[o] = sum[last] + 1;
    if(l == r) return;
    int m = (l + r) >> 1;
    if(p <= b[m])  update(ls[o], l, m, ls[last], p);
    else update(rs[o], m + 1, r, rs[last], p);
}

int query(int ss, int tt, int l, int r, int k){
    if(l == r) return l;
    int m = (l + r) >> 1;
    int cnt = sum[ls[tt]] - sum[ls[ss]];
    if(k <= cnt) return query(ls[ss], ls[tt], l, m, k);
    else return query(rs[ss], rs[tt], m + 1, r, k - cnt);
}

void work(){
    scanf("%d%d%d", &ql, &qr, &x);
    int ans = query(rt[ql - 1], rt[qr], 1, sz, x);
    printf("%d\n", b[ans]);
}

int main(){freopen("t.txt","r",stdin);
   T=1;
    while(T--){
        scanf("%d%d", &n, &q);
        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", a + i), b[i] = a[i];
        sort(b + 1, b + n + 1);
        sz = unique(b + 1, b + n + 1) - (b + 1);
        tot = 0;
        Build(rt[0],1, sz);
        //for(int i = 0; i <= 4 * n; i ++)printf("%d,rt =  %d,ls =  %d, rs = %d, sum = %d\n", i, rt[i], ls[i], rs[i], sum[i]);
        //for(int i = 1; i <= n; i ++)a[i] = lower_bound(b + 1, b + sz + 1, a[i]) - b;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)update(rt[i], 1, sz, rt[i - 1], a[i]);
       // for(int i = 0; i <= 5 * n; i ++)printf("%d,rt =  %d,ls =  %d, rs = %d, sum = %d\n", i, rt[i], ls[i], rs[i], sum[i]);
        while(q --)work();
    }
    return 0;
}