AtCoder Grand Contest 013 E - Placing Squares

题目传送门：https://agc013.contest.atcoder.jp/tasks/agc013_e

题目大意：

给定一个长度为\(n\)的木板，木板上有\(m\)个标记点，距离木板左端点的距离分别为\(X_i\)，现在你需要在木板上放置一些不相交正方形，正方形需要满足

• 正方形的边长为整数
• 正方形底面需要紧贴木板
• 正方形不能超出木板，正方形要将所有的木板覆盖
• 标记点的位置不能是两个正方形的交界处

一种合法的正方形放置方案的贡献为所有正方形面积的乘积，也就是为\(\prod\limits_{i=1}^k a_i^2\)，\(a_i\)为正方形的边长

请你求出所有合法方案的贡献之和，答案对\(10^9+7\)取模

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这题主要难在如何转化题意，假定我们已经得到了一个合法的正方形放置方案，该如何求贡献？我们可以在正方形内放置两个标记，标记是无序的，且标记可以重叠，那么所有合法的标记摆放方案即为贡献

按照这个思路，我们可以设\(f[x][k]\)表示现在处理到第\(x\)个位置，第\(x\)个位置所在的正方形内有\(k\)个标记，这样复杂度是\(O(N)\)的，我们可以用矩乘优化到\(O(M\log N)\)

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5,p=1e9+7;
const int A[3][3]={
	{1,2,1},
	{0,1,1},
	{1,2,2},
};
const int B[3][3]={
	{1,2,1},
	{0,1,1},
	{0,0,1},
};
struct Matrix{
	int v[3][3];
	Matrix(){memset(v,0,sizeof(v));}
	void clear(){memset(v,0,sizeof(v));}
	void init(){for (int i=0;i<3;i++)	v[i][i]=1;}
}trans,Ans,T;
Matrix operator *(const Matrix &x,const Matrix &y){
	Matrix z;
	for (int i=0;i<3;i++)
		for (int j=0;j<3;j++)
			for (int k=0;k<3;k++)
				z.v[i][k]=(z.v[i][k]+1ll*x.v[i][j]*y.v[j][k])%p;
	return z;
}
Matrix mlt(Matrix a,int b){
	Matrix res; res.init();
	for (;b;b>>=1,a=a*a)	if (b&1)	res=res*a;
	return res;
}
int val[N+10];
int main(){
	int n=read(),m=read(),Last=0;
	memcpy(T.v,B,sizeof(B));
	memcpy(trans.v,A,sizeof(A));
	Ans.v[0][0]=1;
	Ans=Ans*trans,Last=1;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int x=read();
		Ans=Ans*mlt(trans,x-Last);
		Ans=Ans*T,Last=x+1;
	}
	Ans=Ans*mlt(trans,n-Last);
	printf("%d\n",Ans.v[0][2]);
	return 0;
}