Burnside 引理与 Pólya 定理

群

群的定义

在数学中，群是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合“群公理”的代数结构。

一个群是一个集合 $G$ 加上对 $G$ 的二元运算。二元运算用 $\cdot$ 表示，它结合了任意两个元素 $a$ 和 $b$ 形成了一个属于 $G$ 的元素，记为 $a\cdot b$。

群的公理化定义

群公理包含下述四个性质（有时略去封闭性，只有三个性质）。若非空集合 $G$ 和 $G$ 上的运算 $\cdot$ 构成的代数结构 $(G,\cdot\ )$ 满足以下性质：

封闭性： 对于所有 $G$ 中 $a,b$，运算 $a\cdot b$ 的结果也在 $G$ 中。
结合律： 对于 $G$ 中所有的 $a,b,c$ ，等式 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ 成立。
单位元： $G$ 中存在一个元素 $e$，使得对于 $G$ 中的每一个 $a$，都有一个 $e\cdot a=a\cdot e=a$ 成立。这样的元素是独一无二的。它被称为群的标识元素。
逆元： 对于每个 $G$ 中的 $a$ ，总存在 $G$ 中的一个元素 $b$ 使 $a\cdot b=b\cdot a=e$，此处 $e$ 为单位元，称 $b$ 为 $a$ 的逆元，记为 $a^{-1}$。

则称 $(G,\cdot\ )$ 为一个群。例如，整数集和整数间的加法 $(Z,+)$ 构成一个群，单位元是 $0$，一个整数的逆元是它的相反数。

\[\]

置换

置换的定义

有限集合到自身的双射（即一一对应）称为置换。集合 $S=\{a_1,a_2,...,a_n\}$ 上的置换可以表示为

\[f=\begin{pmatrix} a_1,a_2,...,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},...,a_{p_n} \end{pmatrix}
\]

意为将 $a_i$ 映射为 $a_{p_i}$ ，其中 $p_1,p_2,...,p_n$ 是 $1,2,...,n$ 的一个排列。显然 $S$ 上所有置换的数量为 $n!$。

置换的乘法

对于两个置换 $
f=\begin{pmatrix} a_1,a_2,...,a_n\\ a_{p_1},a_{p_2},...,a_{p_n} \end{pmatrix}
$ 和 $
g=\begin{pmatrix} a_{p_1},a_{p_2},...,a_{p_n}\\ a_{q_1},a_{q_2},...,a_{q_n} \end{pmatrix}
$，$f$ 和 $g$ 的乘积记为 $f\circ g$ ，其值为：

\[f\circ g=\begin{pmatrix} a_1,a_2,...,a_n\\ a_{q_1},a_{q_2},...,a_{q_n} \end{pmatrix}
\]

简单来说就是先后经过 $f$ 的映射，再经过 $g$ 的映射。

置换群

易证，集合 $G$ 上的所有置换关于置换的乘法满足封闭性、结合律、有单位元（恒等置换，即每个元素映射成它自己）、有逆元（交换置换表示中的上下两行），因此构成一个群。这个群的任意一个子群即称为 置换群。

置换群通常用来解决一些涉及“本质不同”的计数问题，例如用 3 种颜色给一个立方体染色，求本质不同的方案数（经过翻转后相同的两种方案视为同一种）。

循环置换

循环置换是一类特殊的置换，可表示为

\[(a_1,a_2,...,a_n)=\begin{pmatrix} a_1,a_2,...,a_n\\ a_{2},a_{3},...,a_{1} \end{pmatrix}
\]

若两个循环置换不含有相同的元素，则称它们是 不相交 的。有如下定理：

任意一个置换都可以分解为若干不相交的循环置换的乘积，例如：

\[\begin{pmatrix} a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\\ a_3,a_2,a_1,a_5,a_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_1,a_2,a_3\\ a_3,a_2,a_1 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} a_4,a_5\\ a_5,a_4 \end{pmatrix}
\]

该定理的证明也非常简单。如果把元素视为图的节点，映射关系视为有向边，则每个节点的入度和出度都为 1，因此形成的图形必定是若干个环的集合，而一个环即可用一个循环置换表示。

\[\]

Burnside 引理

\[|X/G|=\frac 1 {|G|}∑_{g∈G}|x^g|
\]

证明

考虑一个等价类，有

\[|x||g^x|=|G|,x∈X/G
\]

其中，$x$ 为 $X$ 的一个等价类，$|g_x|$ 为使它不发生改变的置换个数，

$G$ 为总置换个数，$X/G$ 为 $X$ 在 $G$ 置换群下的等价类的集合。

可以感性认知，对于一个等价类，有 $|g_x|$ 种使它不发生改变的置换，

因为对于等价类 $x$，本质不同的置换可以其中一个元素变为其他任意元素，所以有 $|x|$ 种。

\[本质不同的置换个数×不变的置换个数=总置换个数。
\]

考虑枚举每一个等价类，有

\[∑_{x∈X/G}|x||g_x|=|G|⋅|X/G|
\]

每一个等价类对右式的贡献为 $|G|$，共 $|X/G|$ 个。

考虑交换枚举顺序，有

\[∑_{x∈X}|g_x|=∑_{g∈G}|x^g|
\]

其中 $x$ 指 $X$ 的一个元素，$|g_x|$ 为使它不发生改变的置换个数，

此处的 $|g_x|$ 与上面相同，因为同一个等价类 $|g_x|$ 一定相同。

等式右半部分 $g$ 为 $G$ 中的一个置换，$|x^g|$ 为在该置换下不发生改变的元素个数。

由于 $∑_{x∈X/G}|x|$ 可以等价于枚举完所有的元素，有

\[|G|⋅|X/G|=∑_{x∈X/G}|x||g_x|(x指等价类)\\
=∑_{x∈X}|g_x|（x指元素）\\
=∑_{g∈G}|x^g|
\]

\[\]

Pólya 定理

\[|Y^X/G|=\frac 1 {|G|}∑_{g∈G}|Y|^{c(g)}
\]

即：

\[染色方案数（等价类的个数）=\frac 1 {珠子数（总置换数）}∑_{对于每种置换}颜色数（映射数）^{循环节数}
\]

由 $\text{Burnside}$ 引理显然可得。

例题

给定一个 $n$ 个点，$n$ 条边的环，有 $n$ 种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案？

考虑枚举所有置换，可以将环顺时针旋转 $1$ ~ $n$ 个珠子的位置，共 $n$ 种置换。

其中长度为 $i$ 的置换会将整个环分成 $gcd(n,i)$ 个部分，每部分颜色相同。

因此答案为：

\[\frac 1 n\sum_{i=1}^{n}n^{gcd(n,i)}
\]

此时复杂度为 $O(n)$ ，考虑枚举 $gcd(i,n)$：

\[\frac 1 n\sum_{d|n}n^{d}\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d]\\
=\frac 1 n\sum_{d|n}n^{d}\varphi(\frac{n}{d})
\]

即可在 $O(\sqrt n)$ 时间复杂度内解决该问题。

【模板】Pólya 定理

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int T;

const long long md=1e9+7;

inline long long phi(long long x){

	long long res=x;

	for(int i=2;1ll*i*i<=x;i++){

		if(x%i==0){

    		res-=res/i;

			while(x%i==0)x/=i;

		}

	}

	if(x^1)res-=res/x;

	return res%md;

}

inline long long pwr(long long x,long long y){

	long long res=1;

	while(y){

		if(y&1)res=res*x%md;

		x=x*x%md;y>>=1;

	}return res;

}

inline void solve(){

	long long n;scanf("%lld",&n);

	long long res=0;

	for(int i=1;1ll*i*i<=n;i++){

		if(n%i==0){

			res=(res+pwr(n,n/i)*phi(i))%md;

			if(i*i!=n)res=(res+pwr(n,i)*phi(n/i))%md;

		}

	}

	printf("%lld\n",res*pwr(n,md-2)%md);

}

int main(){

	scanf("%d",&T);

	while(T--)solve();

	return 0;

}