题解 [SCOI2008] 奖励关

为了这道题我学了期望 dp（？

为什么会有人期望 dp 入门是这道题啊歪(#`O′)

wtx 一眼秒杀了这题，我们一起来膜拜他！

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其实这题很水但是我之前没学过期望 dp 我是什么 nt。

显然我们以每一轮游戏为阶段，同时要记录每个宝物的状态取或没取，宝物最多 15 个，很容易想到状压。

令 \(f_{i,S}\) 为已经到第 \(i\) 轮游戏，取了 \(S\) 到最后的取完的最大期望。

如果能选，那么对于第 \(j\) 个物品有两种可能，选或不选，因此 \(f_{i, S} = f_{i, S} + \max\{f_{i + 1, S}, f_{i + 1, S | (1 << j)} + p_j\}\)。

可能有人并不理解其实只有你 SBSX，为什么是 \(f_{i + 1, S | (1 << j)}\) 而不是 \(f_{i + 1, S - (1 << j)}\) 呢？因为这是倒推！倒推！倒推！倒推！

如果不能选显然 \(f_{i, S} = f_{i, S} + f_{i + 1, S}\)，最后 \(f_{i, S} \gets f_{i, S} / n\)。

所以这题确实挺简单的。

//SIXIANG
#include <iostream>
#include <iomanip>
#define MAXN 100
#define QWQ cout << "QWQ" << endl;
using namespace std;
double f[MAXN + 10][(1 << 15) + 10], v[MAXN + 10];
int tot[MAXN + 10][MAXN + 10], c[MAXN + 10], pd[MAXN + 10];
void addbat(int &S, int k) {S -= (1 << k);}
bool get(int S, int k) {return ((S >> k) & 1);}
bool check(int S, int i) {
	for(int p = 0; p < c[i]; p++)
		if(!get(S, tot[i][p])) return 0;
	return 1;
}
signed main() {
	int k, n;
	cin >> k >> n;
	for(int p = 0; p < n; p++) {
		cin >> v[p];
		int t = 0;
		while(1) {
			cin >> tot[p][t];
			if(!tot[p][t]) break;
			pd[p] |= (1 << tot[p][t] - 1);
		}
	} 

	for(int p = k; p >= 1; p--) {
		for(int S = 0; S < (1 << n); S++) {
			for(int i = 0; i < n; i++) {
				if((S & pd[i]) == pd[i])
					f[p][S] += max(f[p + 1][S], f[p + 1][S | (1 << i)] + v[i]);
				else
					f[p][S] += f[p + 1][S];
			}
			f[p][S] /= double(n);
		}
	}

	cout << fixed << setprecision(6) << f[1][0] << endl;
}