[ARC107D] Number of Multisets

\(\text{Solution}\)

学习到了一些 \(dp\) 的 \(trick\)

设 \(f_{i,j}\) 表示用了 \(i\) 的元素，当前和为 \(j\) 的方案数

\(dp\) 有两样不好处理的东西

第一是当前和不一定为整数

第二是可重集合的重复计数问题

关于问题二的解决只需钦定加数大小顺序即可

这个显然不能再多设一维，考虑目前集合元素顺序从大到小，那么每次在最前面加入 \(1\)，不改变相对大小

分数可以由 \(1\) 除以若干次 \(2\) 得到，相当于之前的整体除以 \(2\)，整体元素相对顺序仍然不变，这样就不重了

于是转移就分为两种，在最前面加入 \(1\)，或者整体除以 \(2\)

这样是可以覆盖所有可能的加数的

想起分拆数的 \(dp\) 转移也是异曲同工之妙，最前面加个 \(1\) 或者整体加 \(1\)，相对大小顺序都不变，又可以覆盖所有决策

再记录：昨天收获的 \(trick\)，等大环计数，枚举最小值所在环，这样就有大小顺序而不会重复了

\(\text{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>
#define IN inline
using namespace std;

const int P = 998244353;
int f[3005][3005];
IN void Add(int &x, int y){if ((x += y) >= P) x -= P;}

int main() {
    int n, k; scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i][i] = 1;
        for(int j = i - 1; j; j--)
            Add(f[i][j], f[i - 1][j - 1]), Add(f[i][j], f[i][j << 1]);
    }
    printf("%d\n", f[n][k]);
}