【BZOJ1999】【NOIP2007】树网的核 单调队列优化DP

题目描述

　　题目很长，大家自己去看吧。

　　bzoj

　　vijos

　　原题\(n\leq 300\)

　　加强版\(n\leq 500000\)

题解

　　这种东西当然要猜结论的啦，否则会比较麻烦。

结论1：如果有很多条直径，那么不管核在哪条直径上，最小偏心距都相同。

结论2 ：任意一条路径的偏心距不会小于核的最小偏心距。

　　这两个结论的证明方法类似。都是考虑两条路径的公共部分和非公共部分。如果最远的点到路径上的最近的点都在公共部分上，则偏心距相同。任意两条直径的非公共部分长度相同，最远的点到直径上的最近的点的距离显然大于最远的点到其他路径上的最近的点的距离（否则这条直径就不是直径了）。

　　结论1告诉我们可以只考虑一条路径，结论2告诉我们可以考虑所有\(O(n^2)\)条路径而不用管这条路径是否在直径上。

　　对于\(n\leq 300\)，直接暴力枚举路径的两个端点，枚举任意一个点，算出所有其他点到这条路径的距离，就是(这个点到一个端点的距离\(+\)这个点到另一个端点的距离\(-\)这条路径的长度)\(\div 2\)，算出最大值然后更新答案。

　　算最短路用floyd

　　时间复杂度：\(O(n^3)\)

　　对于\(n\leq 500000\)，找出其中一条直径，把这条直径拿出来，算出每个点往右距离不超过\(s\)的点是哪个,算出每个点忽略直径上左边所有点/右边所有点/左边+右边所有点的最远距离。这三部分的最大值就是一条路径的答案。然后从右往左计算答案，用单调队列维护答案：如果新加入队列的偏心距比队尾的偏心距大，可以把队尾删掉。算出所有路径的答案然后取\(\min\)就可以了。

　　时间复杂度：\(O(n)\)

代码

//O(n^3)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int f[310][310];
int main()
{
	int n,s;
	scanf("%d%d",&n,&s);
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	int i,x,y,z;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		f[x][y]=f[y][x]=z;
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
		f[i][i]=0;
	int j,k;
	for(k=1;k<=n;k++)
		for(i=1;i<=n;i++)
			if(i!=k)
				for(j=1;j<=n;j++)
					if(j!=i&&j!=k)
						f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
	int ans=0x7fffffff;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=n;j++)
			if(f[i][j]<=s)
			{
				int now=0;
				for(k=1;k<=n;k++)
					now=max(now,(f[k][i]+f[k][j]-f[i][j])/2);
				ans=min(ans,now);
			}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

//O(n)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
struct graph
{
	int v[1000010];
	int w[1000010];
	int t[1000010];
	int h[500010];
	int n;
	graph()
	{
		memset(h,0,sizeof h);
		n=0;
	}
	void add(int x,int y,int z)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		w[n]=z;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
};
graph g;
int from[500010];
int b[500010];
queue<int> q;
int d[500010];
int w[500010];
void bfs(int x)
{
	memset(d,-1,sizeof d);
	d[x]=0;
	q.push(x);
	int i;
	from[x]=0;
	w[x]=0;
	while(!q.empty())
	{
		x=q.front();
		q.pop();
		for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
			if(d[g.v[i]]==-1)
			{
				d[g.v[i]]=d[x]+g.w[i];
				w[g.v[i]]=g.w[i];
				from[g.v[i]]=x;
				q.push(g.v[i]);
			}
	}
}
void dfs(int x,int fa,int dep,int &s)
{
	s=max(s,dep);
	int i;
	for(i=g.h[x];i;i=g.t[i])
		if(!b[g.v[i]]&&g.v[i]!=fa)
			dfs(g.v[i],x,dep+g.w[i],s);
}
int a[500010];
int c[500010];
int f[500010];
int fl[500010];
int fr[500010];
pii q2[500010];
int head,tail;
void add(int x)
{
	while(tail>=head&&q2[tail].second<=f[x])
		tail--;
	q2[++tail]=pii(x,f[x]);
}
void del(int x)
{
	if(q2[head].first==x)
		head++;
}
int main()
{
	freopen("bzoj1999.in","r",stdin);
	freopen("bzoj1999.out","w",stdout);
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	int i,x,y,z;
	for(i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		g.add(x,y,z);
		g.add(y,x,z);
	}
	bfs(1);
	x=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]>d[x])
			x=i;
	bfs(x);
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]>d[x])
			x=i;
	int t=0;
	do
	{
		a[++t]=x;
		c[t]=w[x];
		x=from[x];
	}
	while(x);
	for(i=1;i<=t;i++)
		b[a[i]]=1;
	int j;
	for(i=1;i<=t;i++)
		for(j=g.h[a[i]];j;j=g.t[j])
			if(!b[g.v[j]])
				dfs(g.v[j],0,g.w[j],f[i]);
	for(i=1;i<=t;i++)
		fl[i]=max(f[i],fl[i-1]+c[i-1]);
	for(i=t;i>=1;i--)
		fr[i]=max(f[i],fr[i+1]+c[i]);
	for(i=1;i<=t;i++)
		c[i]+=c[i-1];
	head=1;
	tail=0;
	j=1;
	int ans=0x7fffffff;
	for(i=1;i<=t;i++)
	{
		add(i);
		while(c[i-1]-c[j-1]>m)
		{
			del(j);
			j++;
		}
		ans=min(ans,max(max(fl[j],fr[i]),q2[head].second));
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}