[LOJ#500]「LibreOJ β Round」ZQC的拼图

题目

  点这里看题目。

分析

  首先不难发现答案具有单调性，因此可以二分答案。答案上限为\(V=2m\times \max\{a_i, b_i\}\)。

  考虑如何去判断当前的答案。设这个答案为\(mid\)。

  我们可以将一块三角形拼图看做一个向量，表示在这个拼图内走过的位移。因此我们的叠放的拼图可以看做一组连续的向量。

  因此可以发现拼图摆放顺序不影响结果。

  故可以考虑一个 DP :

  \(f(i,j,k)\)：前\(i\)块拼图可不可以走到\((j,k)\)这个位置。

  转移略。这个做法有着\(O(nm^4)\)的优秀复杂度......

  不过判断性的 DP 实际上是非常不划算的。我们考虑把它转成一个最优性的 DP 。

  可以发现一个单调性：如果可以用一些拼图走到\((i,j)\)，那么对于\(k\le j\)，我们也一定可以走到\((i,k)\)。

  证明不会略，感性理解一下就好（其实不难理解）。

  然后就可以想到一个 DP ：

  \(f(i,j)\)：\(\max\{k|\text{用前}i\text{块拼图可以走到}(k,j)\}\)。

  转移就只需要考虑新的一块拼图放在前\(i-1\)块凑出的边界上的情况：

\[f(i,j)=\max_{\max\{0, j-\lfloor\frac {mid}{a_i}\rfloor\}\le k\le j}\{f(i-1,k)+\lfloor\frac{mid-a_i(j-k)}{b_i}\rfloor\}
\]

  转移\(O(nm^2)\)。总时间为\(O(nm^2\log_2 V)\)。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 105, MAXM = 105;

template<typename _T>
void read( _T &x )
{
	x = 0;char s = getchar();int f = 1;
	while( s > '9' || s < '0' ){if( s == '-' ) f = -1; s = getchar();}
	while( s >= '0' && s <= '9' ){x = ( x << 3 ) + ( x << 1 ) + ( s - '0' ), s = getchar();}
	x *= f;
}

template<typename _T>
void write( _T x )
{
	if( x < 0 ){ putchar( '-' ); x = ( ~ x ) + 1; }
	if( 9 < x ){ write( x / 10 ); }
	putchar( x % 10 + '0' );
}

template<typename _T>
_T MAX( const _T a, const _T b )
{
	return a > b ? a : b;
}

int f[MAXN][MAXM];
int a[MAXN], b[MAXN];
int N, M;

bool chk( int K )
{
	int lA;
	memset( f, 0xc0, sizeof f );
	f[0][0] = 0;
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ )
		for( int j = 0 ; j <= M ; j ++ )
		{
			lA = 1.0 * K / a[i];
			for( int k = j ; ~ k && j - k <= lA ; k -- )
				f[i][j] = MAX( f[i][j], f[i - 1][k] + int( 1.0 * K / b[i] + 1.0 * a[i] / b[i] * ( k - j ) ) );
		}
	return f[N][M] >= M;
}

int main()
{
	int l = 1, r = 0, mid;
	read( N ), read( M );
	for( int i = 1 ; i <= N ; i ++ ) read( a[i] ), read( b[i] ), r = MAX( r, MAX( a[i], b[i] ) );
	r *= M << 1;
	while( r - l > 1 )
	{
		mid = l + r >> 1;
		if( chk( mid ) ) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	if( chk( l ) ) write( l );
	else write( r );
	puts( "" );
	return 0;
}